Sperimentare in PARI/GP con i numeri lievemente eccedenti

Se definiamo i divisori di un numero n come il vettore d=[d1,d2,d3,...dk], escluso se stesso cioè dk<>n, allora un numero n lievemente eccedente è tale che:

s=sum(i=1,k,di)=n+1

I numeri lievemente eccedenti finora non sono mai stati trovati.


Lo studio "SOME RESULTS CONCERNING QUASIPERFECT NUMBERS - PETER HAGIS, JR. and GRAEME L. COHEN" mostra che se i numeri lievemente eccedenti esistessero sono al disopra di 10^35 e con non meno di 7 divisori oppure se 3 non è divisore di n al di sopra di 10^40 con non meno di 9 divisori.

Un nostro Teorema sull'argomento, è stato ritirato per degli errori, anche se CNR Solar lo marca con stato "Retired" ma ne dà ancora visibilità su INTERNET.

Il concetto dietro ad esso, di dimostrazione per assurdo, lo riteniamo ancora valido, ma la dimostrazione non è così banale come ci accorgeremo dall'analisi successiva, che rendiamo nota per stimolare gli appassionati di Teoria dei Numeri elementare a cercare una soluzione.

L'analisi è un tentativo di verificare se esistono metodi semplici circa la dimostrazione della NON esistenza.


Un semplice programmino PARI/GP per trovare un contro-esempio di esistenza è il seguente:


NLE(start=1,end=1000)= local(i=0, j=0,d=0); {
for(i=1,end,
d = divisors(i);
s=sum(j=start,length(d)-1,d[j]);
if(s==i+1,
print(i," è un numero lievemente eccedente");
);
d=0; s=0;
);
print(" Fine ricerca tra n=",start, " e n=", end);
return;
}


Analisi per induzione

Iniziamo un'analisi per induzione, partendo da un caso semplice.

Un numero lievemente eccedente con almeno 3 divisori deve rispettare che:
d1+d2+d3=n+1

ovvero
d2+d3=n

Poichè d3>d2 allora possiamo porre che:
d3=d2+k
da cui:
d2+d2+k=n
d2 = (n-k)/2 (a)

Poichè d2 è intero, n e k devono essere entrambi pari o entrambi dispari, altrimenti d2 non è intero ed è una contraddizione.


Lemma delle potenze
Un numero n=k^m con k>1 ed m>1 è difettivo.


Dim.

Se n=k^m, allora i suoi divisori propri, escluso n, sono [1,k,k^2,...,k^(m-1)]

Facciamo ora una dimostrazione per induzione.

Supponiamo m=3, allora i divisori propri sono [1,k,k^2]

Ora è evidente che  k^2+k+1 < k^3 = k^2 * k.

Generalizzando è che k^(m-1)+k^(m-2)+...+k+1 < k^m = n, il che dimostra il Lemma.

Proprietà
(a) n non può essere potenza di 2 o k qualsiasi perchè n sarebbe difettivo. La proprietà discende dal Lemma delle potenze
(b) n dispari non può essere primo ma composto perchè avrebbe come divisori solo 1 e sè stesso che va escluso, cioè si otterrebbe un difettivo
(c) n pari non può essere perfetto perchè per i perfetti deve essere d2+d3=n-1 -> d2+d2+k = n-1 -> n-1-k/2 = d2 (b) mentre per i lievemente eccedenti deve essere vera la (a) che è diversa dalla (b)
(d) n pari con 3 divisori di cui almeno uno dispari, oltre a 1, allora d2 NON sarebbe intero
(e) n dispari con soli 3 divisori di cui d1=1 è difettivo, anche nel caso di potenze di numeri primi


Lemma dei 3 divisori propri
Un numero n con 3 divisori propri, escluso n, non può essere lievemente eccedente

Dim.
Le proprietà (a),(c),(d),(e) non consentono di avere un numero n con 3 divisori propri che risulta un numero lievemente eccedente.



Esempi

n=2^3=8
d=[1,2,4]
d1=1, d2=2, d3=2+2->k=2

d2 è intero ma essendo il numero potenza di 2 è difettivo

n=10
d=[1,2,5]
d1=1,d2=2,d3=5 se d3=2+k->k=3
d2=(n-k)/2 non è intero

n=22
d=[1,2,11]
d1=1,d2=2,d3=2+9->k=9
(n-k)/2 non è intero

n=77
d=[1,7,11]
s=19

d1=1,d2=7,d3=7+4->k=4
(n-k)/2 non è intero


Tutti i semi-primi o numeri RSA sono di questo tipo, con 3 divisori. Nessuno di essi può essere un numero lievemente abbondante.


Supponiamo ora che n abbia d=4 divisori, per cui
d2+d3+d4=n
d3 = d2 + k1
d4 = d2 + k2 con k2>k1

d2 + d2 + k1 + d2 + k2 = n
d2 = [n - (k1+k2)]/3

Questo vuol dire che per essere d2 intero il numeratore deve essere multiplo di 3.

Generalizzazione

In generale per d divisori, escluso n, è:

d2 = n - Q / (d-1) (1)

dove Q = Sum(ki,i=1..d-2)

ed n - Q deve essere multiplo di d-1 affinchè d2 sia intero.

E' evidente che se n è pari e d2=2 , Q è pari se i è pari o dispari se i è dispari.

Sperimentazione
Verifichiamo se esiste un Pattern che si presenta sempre.

Se cerchiamo i numeri fino a M che hanno solo 4 divisori, scopriamo che sono solo potenze di numeri primi quindi difettivi

M=100000
for(i=1,M,l=length(divisors(i))-1;if(l==4,print(i)));

n=16 [1,2,4,8] potenza di 2 è difettivo
n=81 [1,3,9,27] potenza di 3 è difettivo
n=625 [1,5,25,125] potenza di 5 è difettivo
n=2401 [1,7,49,243] potenza di 7 è difettivo
n=14641 [1,11,121,1331] potenza di 11 è difettivo
n=28561 [1,13,169,2197] potenza di 13
n=83521 [1,17,289,4913] potenza di 17

Inoltre qui
n=16
k1=2 k2=6

Q = k1 + k2 = 8
d - 1 = 3
d2=(16 - 8) /3 non è intero

n=81
k1=6 k2=24
Q = k1 + k2 = 30
d - 1 = 3
d2=(81 - 30) /3 non è intero

Lemma dei 4 divisori propri
I numeri n con 4 divisori propri non possono essere numeri lievemente eccedenti.

Dim.
I numeri a 4 divisori propri sono solo potenze di numeri primi e per il Lemma delle potenze il numero non può essere un numero lievemente eccedente.

Se cerchiamo i numeri fino a M con 5 divisori scopriamo che sono somma di potenze di numeri primi.

Escludendo i perfetti che non rispettano la (1), se il numero di divisori di n è pari e sono in gioco tutte potenze di numeri primi allora n è difettivo o abbondante

Se il numero di divisori di n è dispari e sono in gioco più numeri primi, con somme di potenze di numeri primi allora n è difettivo o abbondante

Usiamo un programmino che cerca gli abbondanti


SNA(start=1,end=1000)= local(i=0, j=0,d=0); {

for(i=start,end,
d = divisors(i);
s=sum(j=1,length(d)-1,d[j]);
if(s>i+1,
 if( i%2==0, a=" pari ");
 if( i%2!=0, a=" dispari ");
print(i," è un numero abbondante", a, " con ", length(d)-1," divisori");
);
d=0; s=0;
);
print(" Fine ricerca tra n=", start, " e n=", end);
return;
}

Mentre un programmino che cerca un certo numero di divisori è il seguente
SND(start=1,end=1000,adiv=5)= local(i=0, j=0,d=0); {

for(i=start,end,
d = divisors(i);
if(adiv==length(d)-1,
print(i," è un numero con ", length(d)-1," divisori");
);
d=0;
);
print(" Fine ricerca tra n=", start, " e n=", end);
return;
}


Esempi di numeri abbondanti
es:12,18,20,24,30,36

I numeri abbondanti non rispettano la (1), il risultato può essere non intero o negativo.

n=12 [1,2,3,4,6]
s=16>n
d=5
d-1=4
Q=k1+k2+k3=7
k1=1
k2=2
k3=4

12-7/4 non è intero

n=36 [1,2,3,4,6,9,12,18]
s>36
d=8
d-1=7
Q=k1+k2+k3+k4+k5+k6=40
k1=1, k2=2, k3=4, k4=7, k5=10, k6=16

36 - 40 /7 negativo

Il primo numero abbondante dispari è 945 con 15 divisori.

Numeri pari perfetti
es:
n=28
[1,2,4,7,14]
la somma è s=28 è un numero perfetto

Conclusioni
I numeri pari non possono essere lievemente eccedenti, risultano solo perfetti, difettivi o abbondanti. I numeri lievemente eccedenti se esistono devono poter essere dispari e non numeri primi o potenza di un numero.


L'analisi fatta potrebbe non essere esaustiva, al lettore attento la possibilità di segnalarmi controesempi ed errori per affinare l'analisi.

Alla prox

Zeta multipla

Oggi riprende interesse una vecchia strada esplorata dal Eulero e Goldbach sulla zeta multipla. L'interesse è in ambito della Fisica, delle forme modulari e di altri settori della matematica.

Un articolo introduttivo dell'autore è al link:
http://www.scribd.com/doc/74917403/Zeta-multipla

Alla prox

Zeta pari

Il giusto titolo del blog sarebbe forse stato "Relazioni tra RH generale dei numeri naturali, Zeta Dispari, Zeta Pari, Zeta di Riemann, Teorema di Voronin, ipotesi del continuo di Cantor", ma era un pò troppo lungo.

Nel divagare tra le varie zeta con simulazioni e studio si è con l'articolo
http://www.scribd.com/doc/74486449/ZetaPari 

giunti a delle conclusioni affascinanti. L'autore non è un professionista o un accademico, ai lettori il vaglio di possibili errori. Ma se fosse vero e se l'uso di Maple non ci ha tradito, si sarebbe trovato un legame tra tutto ciò.

Se con la zeta di Riemann si riesce ad approssimare o trattare (grazie al Teorema di Voronin e al fatto che insiemi mumerabili hanno gli stessi zero della zeta di Riemann) insiemi numerabili o di cardinalità alef 0, forse con la somma di infinite zeta di Riemann o le zeta di Riemann multiple si potrebbero trattare gli insiemi non numerabili o di cardinalità alef 1 ... Con la zeta di Riemann si spiega la infinità dei numeri primi, con la Zeta Pari quella dei pari, con Zeta Dispari quella dei dispari, ma si può dimostrare forse anche l'ipotesi del continuo di Cantor con le zeta multiple?  E' da approfondire e studiare. E' vero che la RH non è dimostrata ancora ma la zeta è una funzione stra-studiata e utilizzabile.

Alla prox

 

Zeta dispari

Che succede nella formula di Eulero gli n sono solo i dispari e non tutti i numeri naturali?

Che succede se nella serie dei dispari eliminiamo qualche dispari?

Uno studio in tal senso è al link:
http://www.scribd.com/doc/73013918/ZetaDispari

In questo breve studio si esamina la zeta ottenibile solo con i numeri dispari, che nel seguito definiamo
come Zeta dispari.

Si fa una semplice analisi in campo reale che mostra un evidente legame con la zeta di Eulero, si
osservano i valori delle costanti e si analizza il tutto in campo complesso dove si osserva, eliminando
determinati numeri dispari dalla serie, come gli zeri spariscono.

Alla prox

Zeta (s)fortunata

I numeri fortunati (Lucky Numbers) in Teoria dei numeri sono quei numeri naturali che discendono dal setaccio di Ulam. Diversi studi hanno evidenziato molte somiglianze di essi con i numeri primi: l'esistenza di un teorema analogo al teorema dei numeri primi, la densità, la RH, la GRH, Goldbach etc.

A tal proposito si è provato a definire una nuova zeta, la zeta fortunata e a studiarla.

Un articolo a tal proposito è al link:
http://www.scribd.com/doc/72528163/Zeta-s-fortunata

criterio di Riesz, il criterio di Baerz Duarte, ed altre RH equivalenti

Sulla zeta esistono anche lavori recenti e interessanti, come il criterio di Riesz, il criterio di Baerz Duarte, il Teorema di Voronin, la frattalità e il lavoro ed i Teoremi di Davide Schipani.

Dall'ultimo lavoro è possibile ipotizzare una ulteriore criterio RH equivalente, esposto al link:

 http://www.scribd.com/doc/67749588/Criteri-di-Riesz-e-Baerz-Duarte-Teorema-di-Voronin-ed-altre-trasformazioni

Alla prox.

Metodi per lo studio della zeta di Riemann

Il Teorema di Godel, beffardo, sostiene che fin quando i matematici hanno costruito una impalcatura
matematica coerente, possono esistere delle cose che con essa non sono dimostrabili.

Questo oltre alla possibilità di non aver trovato un sofisticato metodo per poter dimostrare l'anello
mancante.

Nella teoria dei numeri analitica, spesso si ricorre ad altri settori per poter verificare se è possibile
trovare nuovi procedimenti.

L'ipotesi di Riemann è uno degli argomenti di tal genere: sulla RH esistono evidenze ma non si riesce a
dimostrarlo come teorema. Inoltre in cento anni si sono scritti fiumi di pagine di ricerca e trovate molte
RH equivalenti (a dire il vero sono oltre cento le RH equivalenti e tendono a crescere).

Il metodo delle trasformazioni di Moebius è uno dei tanti che sono stati usati (vedi articolo al link
http://www.scribd.com/doc/67257705/Il-metodo-delle-trasformazioni-per-le-RH-equivalenti).

Il vantaggio di una RH equivalente è solo di poter fare un attacco indiretto alla RH, cercando un contro-esempio numerico, ma nel 99% dei casi non contribuisce alla dimostrazione della RH.

L'alternativa è di "rivedere" ciò che è dato per assodato, rismontarlo e aggiungere se necessario dei Teoremi.

Sulla RH si è in "sofferenza dimostrativa" a causa di due, tre cose: la simmetria, l'equazione funzionale e/o
la funzione Gamma. Conosciamo davvero tutti i Teoremi su questi punti? E' proprio qui che è evidente che ci
viene meno qualcosa che non aiuta a dimostrare che tutti gli zeri non banali sono sulla retta critica.