M(2n) e la fattorizzazione

M(2n) e la fattorizzazione

Abbiamo visto che i i numeri di Mersenne con esponenti pari non saranno mai primi.

Sono del tipo M(2n)=2^(2n)-1.

Per essi vale sempre una esplicita fattorizzazione del tipo:

x^2 - y^2 = (x - y)*(x + y)

Difatti è:

M(2*n) = 2^(2*n) - 1 = (2^n)^2 - 1^2 = (2^n - 1)*(2^n + 1)
= M(n)*(M(n) + 2)

Per cui se si cercano i fattori di M(2*n) essi sono nient'altro che M(n) e M(n)+2.

Cosa vi ricorda M(n)+2 ? M(n)+2= 3 W Se M(n) è primo W è il Wagstaff number associato!

Una parte del Cunningham Project cerca di trovare con una tecnica simile i fattori 2-,
2+, 2^n-1 per n dispari e 2^n+1 per tutti gli n.

Esiste, difatti, un'altra fattorizzazione algebrica sullo stile della precedente che
può funzionare per i numeri 2+ per determinati n:

2^(4*a - 2) + 1 = (2^(2*a - 1) - 2^a + 1)
*(2^(2*a - 1) + 2^a + 1)
Esempio.

Sappiamo che:
2^14 + 1 = 16385 = 5*29*113

dove n = 14 = 4*a - 2, con a = 4. Da cui:

2^14 + 1 = 2^(4*4 - 2) + 1 = (2^(2*4 - 1) - 2^4 + 1)
*(2^(2*4 - 1) + 2^4 + 1)
= (2^7 - 16 + 1)*(2^7 + 16 + 1)
= (128 - 15)*(128 + 17)
= 113*145
= 113*5*29

Il 5 appare sempre nella fattorizzazione completa 2+ se n è pari.
Ad esempio M(4) = 15 e 5 divide il 15.

Il 3 anche appare sempre, nei 2-
Ad esempio
2^14 - 1 = 16383 = 3*43*127 = 129*127 dove 127= 2^7 - 1 = M(7).


Alla prossima