Scherzi algebrici e geometrici

Scherzi algebrici e geometrici

In Algebra l'equazione di secondo grado è la classica espressione

ax^2+bx+c=0 (1)

In realtà la usiamo tutti i giorni a partire dagli antichi egiziani, anche se
quest'ultimi non lo sapevano e per loro erano fondamentali i problemi di Geometria.

E' noto che le radici o soluzioni di una equazione di secondo grado hanno la proprietà
che:

x1*x2 = A (2)
x1+x2 = B (3)

Se dalla (2) poniamo x2=A/x1 e andiamo nella (2) a sostituire x2 otteniamo
x1 + A/x1 - B = 0

da cui si ottiene:
x1^2 - B*x1 + A = 0 e quindi ritorniamo alla forma generale (1).

Ogni aspetto algebrico ha un significato equivalente geometrico.

Ad esempio:
a. la (2) è l'area di un rettangolo o di un quadrato nel "piano reale" (nell'ambito della geometria Euclidea)
b. la (3) è il semiperimetro del rettangolo o del quadrato


Un momento!

Un'equazione di secondo grado potrebbe avere anche due radici immaginarie; ad esempio:

x1 = +i e x2= -i.

Il che succede ad esempio con l'equazione di secondo grado

x^2+1=0 (con A=1 e B=0).

Uhmmm! OK. Ma qual è il significato geometrico? Dalla (2) L'area = 1 e dalla (3) il semiperimetro = 0.

Buffo! Ma che figure sono nel piano? Esiste una figura del genere?

E' un punto? una retta? Ma dove è localizzata?

Intanto non siamo più nel piano reale, ma in quello immaginario di Gauss e dei numeri complessi.

Ricordiamoci che quando disegniamo un rettangolo o un quadrato nel piano reale, in realtà alla base della figura è associabile l'asse reale delle ascisse; mentre all'altezza della figura l'asse reale delle ordinate.

In questo caso particolare abbiamo a che fare con numeri complessi a+ib senza parte reale (la a).
Quindi siamo nel piano complesso e le figure sono rettangoli o quadrati complessi a cui sono associati l'asse immaginario positivo che va verso l'altro e l'asse immaginario negativo che va verso sinistra.

Simpatico no?

Massimizzazione dell'area.

Usiamo un'altra regolina, quella del quadrato di un binomio e calcoliamo:

(x1+y1)^2 - (x1-y1)^2 = 4x1*x2 (4)

Prima abbiamo visto che x1*x2 è l'area di un rettangolo x1=base e x2=altezza.

Ora sappiamo anche che il perimetro

p=2(x1+x2) (5)

e che l'area = b*h =x1*x2 si può riscrivere quindi sfruttando la (4):

Area = 1/4 * [(p/2)^2 -(x1-x2)^2] = P^2/16 - (x1-x2)^2/4 (6)

La (6) dice che l'Area massima si ha quando x1=x2! ovvero con un quadrato.

Ora lo sapete!

Alla prossima.