Costanti legate ai numeri di Mersenne

Costanti legate ai numeri di Mersenne

Come curiosità riporto la costante di Erdos-Borwein EB: è la somma dei reciproci dei numeri di Mersenne. EB dal nome di Paul Erdos e da Peter Borwein.

EB = sum(n=1,inf,  1/(2^n-1) ) = 1,606695152415291763...
dove inf qui rappresenta infinito: è una serie.

In realtà se facciamo una prova si scopre che tale valore di costante è raggiunto già con 100 termini. Ad esempio ciò si vede con un semplice programma PARI/GP del tipo:

St0(end) = local(A=0.0); {
  A = sum(x=1,end, 1./(2^x-1));
  printp("A = ", A);
}

Che succede se studiamo una analoga espressione ma con gli inversi dei numeri primi di Mersenne (CT1), dei quadrati degli inversi dei numeri primi di Mersenne (CT2), dei cubi (CT3) e delle potenze quinte (CT5)?

Nascono altre costanti:
CT1 = 0.5164541789407885653304873430...
CT2 = 0.1326218721933906054374640689
CT3 = 0.03998654430857385092742336216...
CT5 = 0.004174760315415187189620198382...

ognuna varia lentissimamente le ultime cifre ma solo quando si trova un numero primo di Mersenne.
Anche qua per raggiungere questi valori sono sufficienti 100 termini ed un programmino come il seguente:

St(end, exp=1) = local(x=1, A=0.0); {
  forprime(x=2, end,
     if( isprime(2^x-1) == 1,
         A = A+1./((2^x-1))^exp;
         printp("x = ",x, " A = ", A);
     ); 
  );
}

English version

Constants related to the Mersenne numbers

As a curiosity I show the Erdos-Borwein constant EB: it is the sum of the reciprocals of the Mersenne numbers. EB by the name of Paul Erdos and Peter Borwein:

EB = sum (n = 1, inf, 1 / (2 ^ n-1)) = 1.606695152415291763 ...
where inf is infinity here is a series.

In fact, if we try we discover that this constant value is reached already with 100 terms. For example, this is seen with a simple program PARI / GP type:

St0 (end) = local (A = 0.0), (
   A = sum (x = 1, end, 1. / (2 ^ x-1));
   printp( "A =", A);
)

What if we study a similar expression but with the inverse of Mersenne primes (CT1), the squares of the inverse of Mersenne primes (CT2), cubes (CT3) and fifth powers (CT5)?

Born other constants:

CT1 = 0.5164541789407885653304873430 ...
CT2 = 0.1326218721933906054374640689...
CT3 = 0.03998654430857385092742336216 ...
CT5 = 0.004174760315415187189620198382 ...

each constant varies very slowly to the latest figures but only when there is a Mersenne prime.
Even here for these values are sufficient to reach 100 prime numbers and a program like this:

St (end, exp = 1) = local (x = 1, A = 0.0), (
   forprime (x = 2, end,
      if (isprime (2 ^ x-1) == 1,
          A = A +1. / ((2 ^ x-1)) ^ exp;
          printp( "x =", x, "A =", A);
      ) ;
   ) ;
)