Doppi numeri perfetti

Doppi Numeri perfetti (Double Perfect Number)

Se indichiamo con Np un numero perfetto, esistono i doppi numeri perfetti NNp? Sì.

Sappiamo che esistono i numeri primi di Mersenne e i doppi numeri di Mersenne:

Mp = 2^p-1
MMp = 2^Mp -1

da cui:
Np = 2^(p-1)*Mp
NNp = 2^(Mp-1)*MMp

Esempio:
M2 = 2^2-1=3
MM2 = 2^M2-1 = 2^3-1=7

N2 = 2*3=6=2^1*(2^2-1)=2*M2
NN2 = 2^(M2-1) * MM2 = 2^2*7=28 numero perfetto.

Altro problema: perchè i numeri perfetti terminano per 6 preceduto da un dispari oppure con 28 preceduto da un dispari? Aspetto vostre proposte.

Forme particolari

Proviamo a studiare l'espessione:
S=2^n*p + sum(i=0,n-1,2^i) (1)

La (1) è una forma particolare che fa parte della forma generale dei numeri di Hailstone
n1=2^n2+c, dove la sommatoria corrisponde ai "numeri bizzarri di Collatz".

Proprietà della (1)
Se n=1, p è primo con p=4k+3 e S=2p+1 è primo, allora Mp=2^p-1 è composto.

I numeri bizzarri di Collatz sono del tipo (2^k-4)/4. Condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un numero bizzarro di Collatz sia un numero primo di Mersenne è che k-2 sia primo.
Difatti 2^k/4 -1 = 2^(k-2) - 1

Se n è dispari maggiore di 1 e p=4k+3 con S primo nella (1), allora come è Mp? Aspetto qualche vostra buona proposta.

Nella (1) la parte 2^n*p è sempre pari.

La formula (1) non trova tutti i numeri primi di Mersenne.

In (1) se n è pari e potenza di 2 allora S e p (ma con p diverso da 2) terminano con la stessa cifra.

Se n è dispari, p è primo e la somma ripetuta delle cifre di (2^n*p) mod9=1 allora il numero 2^n*p è un numero perfetto.

Dalla (1) è possibile avere situazioni in cui A=2^n*p sia un numero perfetto (es: 2^2*7=28 n=2) con B=sum(i=0,n-1,2^i) numero primo di Mersenne (es: n=2 sum=2^0+2^1=3=2^2-1) e S=A+B va valutato se numero primo (in alcuni casi lo è; es: 28+3=31).