Primalità con i Numeri perfetti

Test di primalità attraverso i numeri perfetti

Affrontiamo il tema delle cifre finali di Np. Sappiamo che:

Np = 2^(n-1) * (2^n-1) = A * B

Ora è evidente che n deve essere primo (dispari) e n-1 pari perchè legati da Np.

In generale se si fa la prova del 9 di un prodotto:
- si determina il modulo 9 dei due fattori
- si moltiplicano i risultati modulo ottenuti
- si fa il modulo 9 del risultato finale

Per cui è:
Np mod 9 = ( 2^(n-1) mod 9 * (2^n-1) mod 9 ) mod 9

Anche qui si possono osservare cicli esanumerici per ogni fattore e le RN (radici numeriche) di A e B.

Sono eliminati dal ciclo le situazioni per cui B non è primo (es: 2^11-1 n.p.).

CICLI ESANUMERICI DI NP (OGNI 6)

A=2^(n-1)..B=(2^n - 1).........A*B......RN A...RN B
---------------------------------------------------------------
2^2=4.......(2^3 - 1)=7.........28.......4.........7
2^4=16.....(2^5 - 1)=31........496......7.........4
2^6=64.....(2^7 - 1)=127.......8128.....1.........1
---------------------------------------------------------------
2^8=256...(2^9 - 1)=511......130816.......4.........7
2^10......(2^11 -1)...............n.p.........7.........4
2^12=4096.(2^13 - 1)=8191....33550336...1.........1
---------------------------------------------------------------
n.p. significa non primo.

Nei due cicli esanumerici si osservano le seguenti cose:
1) l'alternanza accoppiata delle due sequenza RN A e RN B: 4.7.1/7.4.1 all'infinito
perchè A e B sono legati dalla formula di Np escludendo i numeri Mersenne non primi
2) Np=A*B termina per:
- 28 preceduto da dispari quando A termina con 4 preceduto da pari
- 6 preceduto da dispari quando A termina per 6 preceduto da dispari
3) il prodotto (RN A * RN B) mod 9 a causa dell'alternanza 4.7.1/7.4.1 dà sempre 1

Test di primalità dei numeri primi di Mersenne co i numeri perfetti?


E' possibile creare un test di primalità dei numeri di Mersenne basato quindi sulriconoscimento dei numeri perfetti Np? Attualmente non è dimostrato che si possa fare o per lo meno è come se mancasse qualche altra condizione.

Ad esempio: dato un esponente p tale che si debba valutare se 2^p-1 è primo, allora se p è primo, e sono esclusi i casi per cui p=4k+3 tale che S=2*p+1 è primo, se( 2^(p-1) mod 9 * (2^p-1) mod 9 ) mod 9 = 1 e Np=2^(p-1) * (2^p-1) terminacon 6 preceduto da dispari o con 28 preceduto da dispari, allora 2^p-1 è primo.

Sembra tutto perfetto! Provatelo con numeri primi di Mersenne piuttosto grandi e vi renderete conto che non sempre funziona: va bene per valori bassi.


Alla prossima