Collatz, Teoria dei gruppi, Numeri perfetti e numeri di Mersenne
Un bel articolo sull'argomento è al link:
http://150.146.3.132/729/01/RTC03.pdf di CNR Solar.
Nell'articolo gli autori trattano sia il problema di Collatz classico presentando molti Lemmi e del software, sia la riformulazione moderna che porta fino al Teorema di Terras.
Gli autori mostrano che esiste anche un legame tra il problema di Collatz e la teoria dei numeri, attraverso i numeri perfetti ed i numeri di Mersenne. Inoltre mostrano la tecnica dell'isopath massimo, che permette dato un dispari qualsiasi trovare un pari che fornisce lo stesso percorso di numeri nella successione come il dispari. Presentano anche la congettura del massumo nella successione.
Ad esempio 3 ha un pari isopath massimo che è 20. Sia 3 che 20 hanno la stessa successione di Collatz. Questo può essere sfruttato per numeri difficili come 41 etc.
Vi consigliamo di leggere l'articolo.
Abbiamo chiesto agli autori se esistesse un legame tra il problema di Collatz e le Teoria dei gruppi. Ecco la chicca che ci hanno fornito.
La tecnica dell’isopath massimo citata nell’articolo va nella direzione della Teoria dei gruppi e della topologia elementare. In pratica si individua un omeomorfismo tra due percorsi.
Difatti chiamiamo @ l’operazione 3D+1 applicata a D=dispari e con # l’operazione applicata a P=pari, col vincolo che ad ogni passo sia applicabile solo un’operazione, ovvero quella adatta al tipo di numero. Allora il duplice percorso che parte da D o da P è un gruppo che soddisfa 4 condizioni:
· Le operazioni @ e # danno luogo ad un risultato sempre appartenente al percorso (in altri termini ad un intero della successione di Collatz)
· P l’elemento pari è anche l’elemento neutro perché partendo da P o da D si arriva sempre ad A e si percorre lo stesso percorso; quindi P è ininfluente.
· Esiste un percorso inverso
· Le operazioni dello stesso tipo (applicabili se il risultato è sempre dello stesso tipo: dispari o pari) sono comunque associative: esempio ##p oppure @@d (non è possibile però l’esistenza di segni misti)
In poche parole l’isopath massimo permette di individuare un gruppo di due percorsi regolato da due espressioni algebriche abbastanza semplici:
A = 3D+1
A = P/2
Per cui P=2(3D+1) .
Post
