Equivalenza di Lagarias e criterio di Robin

Equivalenza di Lagarias e criterio di Robin

L'ipotesi di Riemann è vera oppure no?

L’ipotesi di Riemann (RH) riguarda i numeri primi e la loro distribuzione non casuale lungo la retta numerica. La letteratura su questa ipotesi – una dei sette problemi del millennio – è vastissima , ma finora la dimostrazione della RH basata sulla funzione zeta si è dimostrata una strada molto ardua.

Un possibile studio, che permette di dare ulteriori informazioni e maggiori indizi sulla verità della RH, si può fare tramite i numeri con più divisori primi (numeri abbondanti) anziché direttamente con i numeri primi, che hanno come divisori solo 1 e sé stessi (numeri “deficienti”). In altri termini è possibile affrontare il problema RH dalla parte opposta a quella tradizionale: invece di partire dai numeri primi (la relazione di Eulero mette a confronto la somma dell'inverso di numeri naturali elevati a s numero complesso ed un prodotto che coinvolge i numeri primi), si può partire dai numeri abbondanti e in ogni caso passando per un problema additivo.

Sia il criterio di Robin che l'equivalenza di Lagarias permettono di lavorare sulla funzione sigma(n), ovvero sulla somma dei divisori di n, compreso n. Inoltre il suggerimento di Erdos che risale al 1942 di utilizzare i numeri abbondanti (non numeri primi) porta ad una facile verifica dei controesempi. Il tutto in un bellissimo articolo su:

Criterio di Robin

L'equivalenza di Lagarias, il criterio di Robin e la ricerca di consro-esempi inesistenti porta all'indizio abbastanza certo che la RH è vera. Nell'articolo "Sulle spalle dei giganti - dedicato a Georg Friedrich Bernard Riemann" si è visto che partendo dal problema moltiplicativo dei numeri primi (formula di Eulero) si giunge alla congettura di Riemann:"Tutti gli zeri non banali della funzione zeta sono sulla retta critica (o retta 1/2)".

In tutti questi anni, come mostra “Sulle spalle dei giganti” sono stati fatti notevoli passi avanti ma le dimostrazioni e le conoscenze attuali rappresentano solo un tassello in più rispetto ad un notevole mosaico; inoltre ogni tassello da solo non è mai assorto a strumento utile alla risoluzione definitiva della RH.

Ad esempio sappiamo dove gli zeri non possono essere (vedi Teorema della derivata della zeta, o altri) e grazie al legame tra sigma e la zeta di Riemann sappiamo che non possiamo sperare nella giustificazione di una ipotetica simmetria (contrariamente a quanto scrive Keith Devlin in "i problemi del millennio").

La relazione di Eulero e la zeta di Riemann ci dicevano già, in modo velato ,che dietro ai numeri naturali e i numeri primi c'è la RH, ma il criterio di Robin in modo stupefacentemente semplice dimostra che se la RH è vera essa è dietro ai tutti i numeri naturali, ovvero per n maggiore di 5041 è:

sigma(n) minore di e^gamma * n * loglogn

La cosa stupefacente è che tale relazione è vera per tutti gli infiniti numeri ad eccezione di un numero finito (sono 27) per n<=5040. Il Teorema di Gronwall, inoltre, equivalente al criterio di Robin, asserisce che il limite superiore di sigma(n)/nloglogn= e^gamma. Il che vuol dire che esiste un limite superiore al di sopra del quale il rapporto non va ed è anche equivalente a quello che ci piace chiamare "rapporto di Robin" r=e^gamma*nloglogn/sigma(n) che è maggiore di 1 (il limite inferiore è 1). Ma perchè ci sono delle eccezioni nel criterio di Robin? Sono possibili due ipotesi. Si potrebbe dire, forse, pur considerando la dipendenza da n, che per bassi valori di n la disuguaglianza non è esatta (sembra più sigma che faccia dispetto a bassi valori di n): cioè è come se fosse una sorta di situazione analoga a quando, nell'ambito del Modello standard, occorre passare dalla fisica classica alla fisica quantistica perchè le dimensioni in gioco sono di ordini di grandezza completamente diverse. Lo sforzo di Robin però è stato notevole nella ricerca di una espressione in forma chiusa di tale levatura e questo era per lui sufficiente. Se la formula, invece, è esatta anche per bassi valori di n, allora nasce un dubbio: è dimostrato che i numeri primi si diradano all'infinito mentre gli zeri non banali della zeta di Riemann si addensano all'infinito. Ora il criterio di Robin tira fuori che per n<=5040 esistono 27 numeri naturali eccezione, corrispondente a 3 soli numeri primi:2,3,5.

Allora potrebbe nascere un dubbio cioè che esistano almeno tre zeri non banali che non sono sulla retta critica e corrispondente a valori bassi di n (che non riteniamo vero e riteniamo che il criterio di Robin non è valido per n<5041).

Anche se fosse così la RH sarebbe vera a meno di un insieme molto piccolo di zeri (tre zeri non banali) e già sarebbe bello avere gli strumenti per dimostrarlo.

In conclusione la dimostrazione della RH, con rigorosi passaggi matematici, richiede ancora di scalare direttamente la vetta del problema moltiplicativo dei numeri primi. In altri termini sebbene siamo consapevoli che la RH sia vera, la dimostrazione rigorosa vuole che si dimostri che gli zeri non banali della zeta - effettivamente infiniti (vedi lavoro di Hardy e Littlewood) - sono tutti - o ad eccezione di un piccolo insieme - sulla retta critica 1/2.