Fibonacci e dintorni

Proseguiamo con qualche altra strabiliante cosa legata ai numeri di Fibonacci.

Triangoli pitagorici
Charles Raine trovò che se si considerano 4 numeri di Fibonacci di seguito Fk,Fk+1,Fk+2,Fk+3
e consideriamo un triangolo rettangolo con cateti a, b e ipotenusa c, allora è:

a=Fk*Fk+3
b=2*(Fk+1*Fk+2)
c^2 = a^2+b^2

esaminiamo ad esempio la sequenza di Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

Se prendiamo ..3,5,8,13,...
a=3*13=39
b=2(5*8)=80
c=89

P. Simson, matematico scozzese, trovò invece che:

Fk-1Fk+1-Fk^2=(-1)^k

Catalan, invece, che:

2^(n-1)Fn = Sum(i=0,n,5^i* (n i) )

dove (n i) per semplicità di notazione è il coefficiente binomiale.

Lo so, la formula di Catalan vi ricorda i numeri primi di Mersenne!  Purtroppo la primalità dei numeri di Mersenne non è legabile alla primabilità dei numeri di Fibonacci. Ad esempio se poniamo che:

n-1=p  n=p+1 con p numero primo allora è:

2^p - 1 = [1/Fp+1  Sum ( i=0, p+1,5^i * (p+1  i) )] -1

Se 2^p - 1 = Mp è primo allora p è primo e non è vero il contrario.
Per i numeri di Fibonacci se l'indice è primo è primo anche il valore Fn.
Ora le domande sono:
1 Se Mp è primo è primo anche Fp+1?
2 Se Fp+1 è primo lo è anche Mp?

Risposta alla prima domanda: Non sempre .
La serie di Fibonacci è tale che
F(0)=0, F(1)=1 e F(k)=F(k-1)+F(k-2)
quindi:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

Se p=3 Mp=7  primo allora Fp+1=F4=3 primo


Se p=5 Mp=31 primo allora Fp+1=F6=8 NON PRIMO!  (contro-esempio)

Quindi non ha senso nemmeno la seconda domanda se non è verificata la prima.

Diversi contributi dell'autore sono su:
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci

In tale contributo c'è anche come la primalità di un numero di Mersenne è legata invece a quello di un numero di Fibonacci.


 Alla prox