Guazzabugli palindromi

Guazzabugli palindromi

Sia a = (10^n+1)^k, con n>0 e k>0

I quesiti che ci poniamo sono:

1 che tipo di numero è a per ogni n e k?
2 quale è il numero di cifre nc che si ottiene?
3 nc dipende da n o da k?
4 quanto vale "a" senza fare calcoli, esiste
  una regola?


Un metodo di indagine è quello numerico che aiuta subito a farsi delle idee. Per cui scriviamo qualche
riga di comando su PARI/GP del tipo:

k=1
for(n=1,4,a=(10^n+1)^k;if(isprime(a)==1,print1("Yes"));print(a));

poi variamo k e vediamo cosa otteniamo ripetendo le righe precedenti.

Scopriamo subito che possiamo rispondere alla prima domanda che possiamo ottenere numeri palindromi (non per tutti i valori di k) e non sempre numeri primi.

Un numero palindromo è un numero la cui metà è una versione riflessa rispetto ad un asse verticale. Se ad esempio scriviamo 10 e lo ribaltiamo in 01 e mettiamo insieme le cose otteniamo 1001 che è un numero palindromo.

Se usiamo la forma generatrice precedente per k=1 otteniamo:
11
101
1001
10001

E' n o k da cui dipende il numero di cifre nc? Nel seguito intendiamo con nc il valore del numero di cifre del primo numero che otterremo con n=1 e k fissato.

Ad esempio se poniamo k=2 e facciamo sempre variare n nel for tra 1 e 4 ci accorgiamo che dipende da k: nc = k+1.

Per k=2 otteniamo:
121
10201
1002001
100020001

121, il primo numero, è di nc=k+1=3 cifre difatti.

Per k=3 otteniamo:
1331
1030301
1003003001
1000300030001

Per k=4 otteniamo:
14641
104060401
1004006004001
10004000600040001

Per k=5 otteniamo:
161051
10510100501
1005010010005001
100050010001000050001

Da qui vediamo che la "palindromia" viene meno in alcuni casi a partire da  k>4. Se nc è pari non c'è un valore centrale rispetto al quale c'è la riflessione. Se nc è dispari esiste un valore centrale o pivot.

Alcune regole che possiamo fissare sono le seguenti:

A) agli estremi esiste sia un 1 a destra che un 1 a sinistra.

B) il gruppo di zeri che appaiono sono n-1 ed il gruppo si ripete per ogni cifra non nulla per intervallarle. Se n=1 non ci sono zeri.

C) esiste una regola per passare dal numero ottenuto con n=1 e k=b al numero con n=1 k=b+1  in particolare si sommano le cifre del numero con n=1 e k=b aggiungendo alla fine un 1 a destra e sinistra

  esempio n=1 e k=3
  1 3 3 1

  dalla destra:
  3+1=4  
  3+3=6
  1+3=4

  numero ricavato:
  1  4  6   4  1  

D) esiste una regola per passare dal numero ottenuto con n=1 e k=b al numero con n=2 k=b
  in particolare si aggiungono zeri in quantità pari a n-1

  Esempio:
  numero ricavato per n=1 e k=3
  1   4   6   4   1  
  1 0 4 0 6 0 4 0 1

  Esempi più complessi

  n=1 k=4
  1 4 6 4 1

  n=1 k=5
  Da destra è:
  4+1=5
  6+4=10 0 si scrive e si riporta 1
  4+6=10 0 questa somma non si fa perchè nel caso nc dispari il pivot si somma una sola volta   
  1+4+1 il +1 è il resto del 10 precedente
 
  1 6   1 0   5  1

  Per n=1 e k=6
  5+1=6
  5+0=5
  1+0=1
  6+1=7
  1+6=7

  1  7  7  1  5  6  1

  Per n=1 e k=7
  6+1=7
  5+6=11 1 si scrive e 1 di riporto
  1+5+1=7
  7+1=8
  7+7=14 4 si scrive e 1 di riporto
  1+7+1=9

1 9 4 8 7 1 7 1
 
Convinti?

Se vogliamo poi vedere quali sono numeri primi, nel caso che dobbiamo lavorare su molti numeri, allora vi consiglio di farli stampare prima su file da PARI/GP e poi usare WinPFGW.

Alla prox.