Numeri ciclici ed un po' magici

Numeri ciclici ed un po' magici

Alcuni numeri hanno una proprietà caratteristica. Prendiamo ad esempio 142.857.

E' un numero come un altro a prima vista. Ebbene se si moltiplica per un valore si ottiene un numero al cui interno si ripresenta il numero di partenza con cifre nello stesso ordine.

Se poi a tale risultato si moltiplica ulteriormente, il numero di partenza si ripresenta con cifre shiftate in modo circolare.

Ecco degli esempi:

142.857 x 2 = 285.714 142.857 x 5 = 714.285

142.857 x 3 = 428.571 142.857 x 6 = 857.142

142.857 x 4 = 571.428 142.857 x 7 = 999.999

E' facile osservare che le 6 cifre del numero compaiono, tra l’altro nello stesso ordine, anche nei risultati. Moltiplicando il numero magico per 7 si ottiene invece 999.999.

Disponendo le cifre in cerchio e iniziando a leggere in un punto qualsiasi procedendo in senso orario si ottiene sempre un numero multiplo di 142.857: ecco perché questo viene chiamato numero ciclico.

Forse avete anche osservato che sommando le due cifre opposte nella disposizione circolare si ottiene sempre 9.

Ad esempio spezziamo il numero in due parti uguali, e scriviamole incolonnate:

142
857

Cosa si nota ? Sommando le cifre in posizione corrispondente, si ottiene sempre 9: 1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9.

Ciò vale anche per tutti i multipli, eccetto ovviamente quelli caratteristici dati dal primo generatore e suoi multipli!

Queste proprietà appartengono a tutti i numeri ciclici.

Alcuni di essi si possono generare con frazioni periodiche.

Ad esempio 142.857 è il più piccolo di questi numeri ciclici e si ottiene dividendo 1 per 7 e considerando le prime 6 cifre decimali del periodo.

Un altro numero di questo genere si ottiene dividendo 1 per 17:
si tratta esattamente di 588.235.294.117.647.

Dividendo 1 per 97, invece, si ottiene un numero ciclico di ben 96 cifre!

Un alro modo per generarli è secondo la formuletta C(p)=(b^{p-1}-1)/p

ove b è la base numerica prescelta e p è il numero primo dato, che non sia un divisore della base.

Ovviamente non ogni numero primo genera un numero ciclico.

In sintesi si definisce numero ciclico quel numero di n cifre in base b che ha le seguenti caratteristiche:
1 moltiplicato per un numero da 1 a n, dà come risultato un numero che contiene le stesse cifre del numero di partenza, in ordine   traslato
2 moltiplicato per n+1, dà come risultato una sequenza di n cifre b-1 (ovvero b^n-1)
3 sono caratterizzati dall'essere sempre espressi con p - 1 cifre, il che spiega la loro strettissima correlazione con la rappresentazione e quindi la base numerica prescelta

Alla prox