Teoria dei numeri - Numeri Repfigit o numeri di Keith

Teoria dei numeri - Numeri Repfigit o numeri di Keith

Il nome deriva da "replicating Fibonacci digit" ed indica i "numeri riproduttori di Fibonacci".

Si definisce numero repfigit o numero di Keith un numero n intero, costituito da m digit d1d2...dm, che
si rigenera all'interno di una sequenza del tipo:

d1, d2, ..., dm, s1=d1+d2+d3+...+dm, s2=s1+d2+...+dm, s3=s2+s1+d3+...+dm, ...

Generalizzando si consideri la sequenza definita da:

sk = dk (k = 1, 2, …, m) e
sk= sum(i=1,m,sk-i) (k>m).

Se sk=n per qualche k, allora n è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith o numero repfigit.

Esempi di repfigit

n=47 m=2 digit
4,7,11,18, 29, 47

n=1537 m=4 digit
1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537


E' nel 1987, che Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci.

Nel 1987 il numero repfigit più grande conosciuto era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, fu scoperto 44.121.607 e nello stesso anno il dottor Googol trovò che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono repfigit nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. Oggi sono stati scoperti numeri di questo tipo molto più grandi.

Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a m=5 cifre

m=2     14     19     28     47     61     75            
m=3     197     742                            
m=4     1104     1537     2208     2580     3684     4788     7385     7647     7909
m=5     31331     34285     34348     55604     62662     86935     93993        

Congettura di Keith
I numeri repfigit sono infiniti.

Altro problema
Esistono repfigit con m>34?





Riferimenti
La Magia dei numeri – Clifford Pickover – Sfide Matematiche
http://planetmath.org/encyclopedia/KeithNumber.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci#Voci_correlate (dove l'autore ha contribuito)