Calcoli mentali rapidi su grandi numeri

Nella matematica si verificano spesso problematiche che confluiscono nel Teorema di Godel: una branchia matematica non è auto-dimostrante. Ad esempio proprietà dell'aritmetica non si riescono a dimostrare con l'aritmetica stessa e si deve ricorrere all'algebra, e questo è vero per ogni branchia e quando non esiste un settore o non è stato esplorato sufficientemente una congettura rimane un Teorema mancato, in attesa di nuovi strumenti matematici esistenti o da creare (magari anche il settore matematico è da creare). Esistono molte congetture, difatti, non ancora rigorosamente dimostrate, ma sono presenti moltissime evidenze sulla loro verità.

L'algebra ha un fascino enorme, perchè permette di manipolare espressioni e termini, equazioni, facendo apparire e sparire elementi fino ad arrivare ad una dimostrazione di verità o falsità.

Ad esempio il problema classico di Sophie Saint Germain di verificare se a^4 + 4 è composto, va affrontato con qualche passaggio del tipo:

a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2-2a)(a^2-2+2a)

In pratica appare il prodotto notevole, quindi a^4 + 4 è costituito sicuramente da due fattori, per cui è composto.

L'algebra ed il prodotto notevole sono spesso dietro a a calcoli mentali con numeri enormi, che non hanno nulla di prodigioso in chi lo esegue. Il fatto è che la maggioranza delle persone, anche il sottoscritto, tende a fare i calcoli con la moltiplicazione classica e gli occorre almeno carta e penna per disporre di una memoria tampone.

A tutti è noto però che esistono metodi mentali per approssimare rapidamente il calcolo e poi correggerlo. Un caso  semplice a cui tutti ricorrono è nelle somme o nelle differenze; ad esempio con 112+231 è più facile fare 112+200=312 e poi correggere di 31 a 343.

Tecniche per le potenze
Con le potenze esistono diverse teniche per rendere rapido un calcolo con l'aiuto dell'algebra.

Tecnica 1 - adattare il calcolo ad un prodotto notevole del tipo:

   a^2 = a^2 - b^2 + b^2 = (a+b)(a-b)+b^2

Sopra (a+b)(a-b) è il prodotto notevole e b è il termine di aggiusto in modo che (a-b) oppure (a+b) sia un numero tondo e facile per fare i calcoli.

Tecnica 2 - regola del 5
Una seconda tecnica sulle potenze è osservare come termina il numero se per 5, allora si applica la regola del 5: Il quadrato di un numero che termina per 5 a5^2 = a*(a+1) concatenato con 25.

Vediamo alcuni esempi per le potenze:

1) 27^2  

Qui è più facile aggiustare a 30

(27+3)(27-3)+3^2 = 30*24+9=3*10*24+9=3*240+9=3*200+40*3+9=600+120+9=729

2) 63^2

(63-3)(63+3)+3^2=6*10*66+9=6*660+9=3969

3) 35^2 = 1225

ricordando che 3*4=12 concatenando 25

4) 65^2 = 4225

5) 75^2 = 5625

Metodo generale per la moltiplicazione

Regola per a*b con a>b
Mettere il tutto nella forma (a+c)(b-c)+c*((a+c)-b)   con a>b facendo in modo che a+c diventi un numero semplice multiplo di 10 ad esempio o comunque facile da calcolare.

Esempio
997*986

997 è vicino a 1000 per cui pensiamo ad un (a+c) con c=3, mentre 986 è lontano di 14=(b-c) da 1000; per cui si può scrivere:

(997+3)*(986-3)+3*14=1000*983+3*14=983000+42=983042

Scorciatoie basate sul numero di cifre
Prima tecnica:
Se abbiamo due numeri di tre cifre abc*abd con cifra delle centinaia uguale e somma delle unità pari a 10 allora separiamo i calcoli ab*a(b+1)  e c*d. Il risultato si ottiene concatenando le cifre ottenute.

Esempio
783*787
si moltiplica 78*79 col metodo precedente e 3*7=21.

Quindi 78*79=(79+21)(78-21)+21*22=100*57+22+440=5722+440=6162

per cui concatenando si ottiene che:

783*787=616221

Seconda tecnica:
usare un prodotto notevole osservando la distanza tra i due numeri e usando il numero medio

Esempio
783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4

Possiamo ora usare i metodi delle potenze precedenti (regola del 5), il riusultato esce da 

78*79 concatenato a 25 quindi 616225, per cui

783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4=616221

Tecniche di predizione delle ultime cifre

Regole delle cifre 1,5,6
Sicuramente tutti abbiamo notato che se moltiplichiamo due numeri che hanno entrambi il 5 finale, il risultato avrà il 5 finale.
Questo accade anche per 1 e 6 (ovviamente dimostrabile).

Questo per dire che se vi chiedono l'ultima cifra di 3456^323342 è sicuramente 6, come per 345621^342 è 1 e per 815^723 è 5.

Regola del 25 e 76
Il prodotto di due numeri che terminano per 76 conterrà 76 alla fine e così per il 25.

Esempio
8176^2 = 66846976

3176 * 2576 = 8181376

Ma ne esistono anche tante altre regole: per la divisibilità, per dire le cifre decimali di una divisione etc.

Alla prox