La Matematica ed i giochi

La matematica pone sfide a qualsiasi livello, scientifico e professionale, ma anche ludico e dilettevole. Spesso soluzioni di matematica dilettevole si trasformano, negli anni, in teoria apri-pista per i problemi professionali. Un esempio è stato il problema dei ponti di Konosberg di Eulero da cui poi è nata la Teoria dei grafi, la Topologia etc.

Dal diletto sono nati problemi, teoremi e teorie e così sarà anche in futuro. Nomi di esperti di matematica dilettevole potrebbero essere: Varahamihira, Narayana, Bachet de Meziriac, Fermat, La Hire, Eulero, Beniamino Franklin, Edouard Lucas, Jean Pierre Alem, Mariano Mataix,Googol, Yakov Perelman, Henrey Dudney, Martin Gardner. Ma sicuramente ne abbiamo tralasciati tanti altri altrettanto noti ed importanti: impossibile nominarli tutti.

Esaminiamo nel seguito un argomento di matematica che in Europa ha avuto radici nel Cinquecento: i quadrati magici. Hanno un fascino esoterico (citati anche nei libri di Dan Brown), un fascino particolare dovuto alla simmetria esistente in essi, fino ad esplodere nel Sudoku o nel tridimensionale gioco del cubo di Rubik. Chissà se qualcuno mostrerà qualcosa di analogo con un 'ipercubo magico'. In realtà la teoria dei quadrati magici risale al VI secolo con gli Indiani poi tramandata agli Arabi nel IX secolo.

I quadrati magici sono caratterizzati da innumerovoli proprietà a seconda del tipo di quadrato si considera; comunque le proprietà più semplici sono:
a) la somma delle diagonali o delle linee è sempre N, che è detto 'numero magico' del quadrato
b) Se il quadrato è nxn, N è la n-esima parte della somma di tutti i numeri del quadrato.
c) I numeri non sono ripetuti nel quadrato

Vediamo qualche problema.

Problema 1: Trovare N e K nel quadrato magico 3x3 ponendo k al centro e sapendo che esso è costituito
solo di numeri dal 10 al 18.

Supponiamo di avere un quadrato 3x3 come segue:

|a|b |c
|  |K|
|d|e|f

Dall'algebra e dal numero N risulta allora che la somma delle diagonali è N e la somma di una traversa dall'alto in basso è N:

a+k+f=N
b+k+e=N
c+k+d=N

Se sommiamo le tre equazioni si ottiene che: (a+b+c)+3k+(d+e+f)=3N; però in un quadrato magico anche a+b+c=N e d+e+f=N per cui: k=N/3 o 3k=N. N è 1/3 della somma degli elementi da 10 a 18:

N = 1/3 (10+11+12+13+14+15+16+17+18)=42 e k=14.

Problema 2 - Quadrato dei primi: Completare il quadrato 3x3 seguente:

|67|    |43
|    |    |
|    |73|

Dal problema 1 abbiamo imparato che conviene mettere un k al centro e cercare di completare una riga o una diagonale:

|67|b  |43
|    |k  |
|    |73|

Qui deve essere: 67+b+43=b+k+73=3K   per cui b=1 e k=37 N=3k=111

Il quadrato magico per le ovvie differenze deve essere

|67|1  |43
|13|37|61
|31|73|7

Questo quadrato è dovuto a Dudney ed è detto "Quadrato dei primi" poichè è costituito da soli numeri primi.

Problema 3: Sudoku o Novenario. Trovare il numero magico N del Sudoku 3x3.

In un quadrato 3x3 del Sudoku la somma di tutti i numeri è quella da 1 a 9, per cui N=1/3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=45/3=15. Il k=N/3=5 può essere messa al centro del Sudoku.

Se poniamo in un angolo il 9 otteniamo:

|9 |   |
|   |5 |
|   |   |1

Ma così possiamo avere una sola soluzione per ottenere N=15 in riga e colonna: 4,2; il che non va bene perchè sarebbe una ripetizione. Di conseguenza il 9 non può stare nei vertici.  In tal caso abbiamo due 'soluzioni principali' e tutte le altre si ottengono ruotando il quadrato:

|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6

|2 |9 |4
|7 |5 |3
|6 |1 |8

Il quadrato di Albrecht Durer

 In un'opera esoterica di Albrecht Durer, "Melancholia" del 1514 c'era raffigurato un particolare quadrato magico 4x4.

|a|b |c  |d
|e|x |y  |f
|g|w|z  |h
|i |j  |k |l


Problema 4: Completiamo il quadrato di Albrecht Durer suppoenendo di avere:
|16|  |  |13
|    |  |  |
|    |6|  |
|    |  |  |1

E' costituito da un quadrato interno x,y,w,z 2x2 e da una cornice esterna a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l. Le equazioni in gioco sono quindi:

a+x+z+l=N
b+x+w+j=N
c+y+z+k=N
d+y+w+i=N

Sommando le 4 equazioni otteniamo:
(a+b+c+d)+2(x+y+z+w)+(l+j+k+i)=4N poichè (a+b+c+d)=N e (l+j+k+i)=N allora è evidente che x+y+z+w=N (proprietà a)

Però è anche vero che se sommiamo solo
a+x+z+l=N
d+y+w+i=N

otteniamo che: (a+d+l+i)+(x+y+z+w)=2N quindi (a+d+l+i)=N cioè la somma degli angoli è pari a N (proprietà b).

Il quadrato gode della proprietà c che dividendolo in 4 quadrati alto a sinistra, basso a sinistra, alto a destra e
basso a destra la somma dei numeri è uguale a N. A questo punto possiamo abbozzare alla soluzione del problema:

1) Si suppone che il massimo numero è 16 e che il quadrato contenga da 1 a 16.
2) Questa volta il numero magico è 1/4 del totale dei 16 numeri (1..16) ovvero N=34.
3) per la proprietà b allora il numero all'angolo sinistro in basso è N-16-13-1=34-16-13-1=4.

|16|  |  |13
|    |  |  |
|    |6|  |
| 4 |  |  |1

La diagonale si può completare N-13-6-4=34-23=11

|16|  |    |13
|    |  |11|
|    |6|    |
| 4 |  |    |1

b,c possono essere solo 3,2 oppure 2,3 perchè la riga a+b+c+d=N

|16|3| 2 |13
|    |  |11|
|    |6|    |
| 4 |  |    |1

j e k possono essere solo 15,14 o 14,15 (Durer scelsa 15,14 così da avere la data 1514):

|16|3   | 2|13
|    |    |11|
|    |6  |    |
| 4 |15|14|1

A questo punto si riempe il quadrato interno facilmente

|16|3  | 2 |13
|    |10|11|
|    |6  | 7 |
| 4 |15|14|1

Alla fine è:

|16|3  | 2 |13
| 5 |10|11| 8
| 9 |6  | 7 |12
| 4 |15|14| 1

Ne esistono tante altre versioni:
- quadrato  bimagico che è un quadrato che resta magico se si sostituiscono i suoi elementi con i i rispettivi 
  quadrati,
- quadrato trimagico, come prima ma con i cubi
- quadrato magico geometrico, dove i prodotti delle righe (non le somme), delle traverse e delle diagonali
  sono uguali
- quadrati magici costituiti da lettere (il celebre SATOR rinvenuto negli scavi di Pompei del 79 d.c.)
- quadrato di 7, contenente i 49 iniziali numeri primi
- quadrati magici in base non decimale

Interessante è la trattazione su essi fatta da Jean-Pierre Alem nel suo "Giochi di ingegno e divertimenti matematici".

Sui quadrati magici se non si dispone di un metodo matematico, si possono perdere mesi prima di trovare la soluzione. Interessante è ovviamente il metodo per costruirli. Narayana, nel suo Ganida-Kamudi, illustrò un metodo di costruzione per i quadrati di lato 4n, 4n+-1, 4n+2. I 4n erano basati sulla mossa del cavallo degli scacchi. Per i primi due gruppi mostrò un criterio di costruzione per sovrapposizione di due quadrati (secoli dopo ripreso da La Hire). 

Per i giochi matematici in generale vi consiglio anche Martin Gartner con il suo "Esperienza A-aH!" con cenni al "pensiero laterale", Edouard Lucas con "Il gioco militare" e "Il labirinto". Non sono da meno, per gli appassionati: Yakov Perelman con "Algebra ricreativa" tutto dedicato alla Teoria dei Numeri ed Hernry Dudeney col suo "L'enigma del mandarino".

Edouard Lucas nei suoi libri espone giochi famosi della sua epoca ma anche sue invenzioni: "La presa della bastiglia", la Torre di Hanoi, il gioco Paradoxal, il problema delle otto regine, problemi di Dama, gioco del Domino, problemi di giochi militari, problemi sui labirinti, problemi di teoria dei numeri etc.

Lucas ovviamente è famosissimo per i suoi enormi contributi alla Teoria dei Numeri (procedimento della sequenza di Lucas e vari Teoremi).

Il TRIS
Chi non ha mai giocato a TRIS? Si tratta di un quadrato 3x3 dove a turno ogni giocatore mette una 'x' oppure un cerchietto 'o' ad occupare le caselle.In esso vince chi riesce a mettere insieme tre simboli di fila in diagonale o lungo una traversa verticale o orizzontale. OK, il TRIS non ha niente di magico, ma capiremo con il gioco del quindici perchè l'ho introdotto.

La strategia da adottare nel TRIS è semplice. Si occupa quella casella che offre più potenziali tris successivi. Ad esempio se si occupa il centro ci sono 4 potenziali tris, se si occupa un angolo si hanno 3 potenziali tris.
Le risposte devono seguire lo stesso criterio. Se giocato in questo modo si giunge sempre alla patta, cioè il TRIS è un gioco a "somma zero" (Teoria dei giochi). 

Un esempio di giocata è il seguente:
|   |    |
|   |X |
|   |    |

|   |    |O
|   |X |
|   |    |

|    |    |O
|    |X |
|X |    |

|    |O |O
|    |X |
|X |    |

|X |O |O
|    |X |
|X |    |

Ha vinto il giocatore delle X. Se invece
|   |    |
|   |X |
|   |    |

|   |    |O
|   |X |
|   |    |

|    |    |O
|    |X |
|X |    |

|O |    |O
|    |X |
|X |    |

|O |X |O
|    |X |
|X |    |

|O |X |O
|    |X |
|X |O |

|O |X |O
|    |X |O
|X |O |

|O |X |O
|    |X |O
|X |O |X

Patta.

Il gioco del quindici

Supponiamo di avere una fila di 9 caselle in successione: due giocatori a turno devono mettere un numero in una posizione qualsiasi.Vince chi fa somma 15 per prima. Che strategia si adotta? Se non lo si sa si è notevolmente svantaggiati.

Lucas dimostrò che il gioco del 15 equivale ad un quadrato magico 3x3 con somma 15, da tenere a memoria:

|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6

E la strategia di gioco da attuare? Quella del TRIS! La probabilità di vittoria è buona, se l'avversario ignora di dover giocare a TRIS su un quadrato magico, ma si arriva alla patta in caso contrario.

Alla prox