Numeri ciclici ed un po' magici
Alcuni numeri hanno una proprietà caratteristica. Prendiamo ad esempio 142.857.
E' un numero come un altro a prima vista. Ebbene se si moltiplica per un valore si ottiene un numero al cui interno si ripresenta il numero di partenza con cifre nello stesso ordine.
Se poi a tale risultato si moltiplica ulteriormente, il numero di partenza si ripresenta con cifre shiftate in modo circolare.
Ecco degli esempi:
142.857 x 2 = 285.714 142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 3 = 428.571 142.857 x 6 = 857.142
142.857 x 4 = 571.428 142.857 x 7 = 999.999
E' facile osservare che le 6 cifre del numero compaiono, tra l’altro nello stesso ordine, anche nei risultati. Moltiplicando il numero magico per 7 si ottiene invece 999.999.
Disponendo le cifre in cerchio e iniziando a leggere in un punto qualsiasi procedendo in senso orario si ottiene sempre un numero multiplo di 142.857: ecco perché questo viene chiamato numero ciclico.
Forse avete anche osservato che sommando le due cifre opposte nella disposizione circolare si ottiene sempre 9.
Ad esempio spezziamo il numero in due parti uguali, e scriviamole incolonnate:
142
857
Cosa si nota ? Sommando le cifre in posizione corrispondente, si ottiene sempre 9: 1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9.
Ciò vale anche per tutti i multipli, eccetto ovviamente quelli caratteristici dati dal primo generatore e suoi multipli!
Queste proprietà appartengono a tutti i numeri ciclici.
Alcuni di essi si possono generare con frazioni periodiche.
Ad esempio 142.857 è il più piccolo di questi numeri ciclici e si ottiene dividendo 1 per 7 e considerando le prime 6 cifre decimali del periodo.
Un altro numero di questo genere si ottiene dividendo 1 per 17:
si tratta esattamente di 588.235.294.117.647.
Dividendo 1 per 97, invece, si ottiene un numero ciclico di ben 96 cifre!
Un alro modo per generarli è secondo la formuletta C(p)=(b^{p-1}-1)/p
ove b è la base numerica prescelta e p è il numero primo dato, che non sia un divisore della base.
Ovviamente non ogni numero primo genera un numero ciclico.
In sintesi si definisce numero ciclico quel numero di n cifre in base b che ha le seguenti caratteristiche:
1 moltiplicato per un numero da 1 a n, dà come risultato un numero che contiene le stesse cifre del numero di partenza, in ordine traslato
2 moltiplicato per n+1, dà come risultato una sequenza di n cifre b-1 (ovvero b^n-1)
3 sono caratterizzati dall'essere sempre espressi con p - 1 cifre, il che spiega la loro strettissima correlazione con la rappresentazione e quindi la base numerica prescelta
Alla prox
sabato 24 aprile 2010
domenica 18 aprile 2010
Teoria dei numeri - Il problema di Riesel e di Sierpinski
Il problema di Riesel e il problema di Sierpinski
Nella teoria dei Numeri si definisce numero di Riesel un valore k dispari tale che, per ogni n,
il termine k*2^n-1 è un numero composto.
Nel 1956 Hans Riesel dimostrò che esistono infiniti numeri di Riesel, con una tecnica di "insieme ricoprente".
Un insieme ricoprente è un insieme di numeri primi piccoli tali che ogni termine di una successione sia
divisibile per uno di essi (da qui il nome di "ricoprente").
In base a tale tecnica Riesel mostrò che 509203 era un numero di Riesel.
Poichè finora non è stato trovato nessun insieme ricoprente per valori di k inferiori a 509203, si ipotizza
che esso sia il più piccolo numero di Riesel.
Il "problema di Riesel" è di determinare il più piccolo numero di Riesel.
Esempi
k=5 non può essere un numero di Riesel, perchè già con n=2 si ottiene che 5*2^2-1=19 è un numero primo.
k=509203 se lo si prova per 10 mila o 1 milione di valori di n non si ottiene un primo; ad esempio di fatti
con PARI/GP si possono scrivere due linee di comando del tipo:
a=509203
for(i=1,10000, b=a*2^i-1; if(isprime(b)==1,print("prime ",b," for n: ", i);); );
Il problema di Sierpinski
Tale problema è analogo a quello di Riesel. E' definito numero di Sierpinski un numero k dispari, che per ogni n, produce numeri composti k*2^n+1.
Qual è il più piccolo numero di Sierpinski? Nel 1962 John Selfridge propose come il più piccolo numero di Sierpinski 78557. Per dimostrare che esso è il più piccolo occorre dimostrare che i dispari precedenti non sono numeri di Sierpinski. Finora è stato dimostrato per tutti i numeri eccetto per diciassette di essi.
Ricerca algoritmica
Il progetto Riesel Sieve (analogo a Seventeen oppure Bust), progetto di calcolo distribuito, sta analizzando almeno 75 valori di k minori di 509203, che possono considerarsi PRN ("Probable Riesel's number").
Un interessante valore è il 659.
Un algoritmo proponibile in PARI/GP, per entrambi i problemi, che si può ulteriormente ottimizzare, è il seguente da me proposto.
/*
* Riesel's Number Research
* Sierpinski's Number Research
*
* Author : Rosario Turco
* Date : 16/04/2010
* Revision : 1.0
*/
RSL(start=3, end=1001, s=1, n=1000, r=1)=local();{
if( start%2 == 0, error("inserire uno start dispari"););
i = start;
while(i
RSLR(i,s,n,r);
i = i+2;
);
print("start : ", start," end : ", end);
}
RSLR(val,s=1,n=1000,r=1)=local(out="",trovato=0); {
for(j=s,n,
if( r == 1,
a = (val*2^j) - 1;
);
if( r == 0,
a = (val*2^j) + 1;
);
if( isprime(a) == 1,
trovato=1;
print("Nok at n: ", j);
j=n+1;
);
);
if(trovato == 0,
if( r == 1,
out = concat( out, "Probable Riesel's number: k=");
);
if( r == 0,
out = concat( out, "Probable Sierpinski's number: k=");
);
out = concat( out, val);
out = concat( out, " on ");
out = concat( out, n);
out = concat( out, " values ...");
print(out);
);
}
Riferimenti
Wikipedia
http://www.seventeenorbust.com
Alla prox
Nella teoria dei Numeri si definisce numero di Riesel un valore k dispari tale che, per ogni n,
il termine k*2^n-1 è un numero composto.
Nel 1956 Hans Riesel dimostrò che esistono infiniti numeri di Riesel, con una tecnica di "insieme ricoprente".
Un insieme ricoprente è un insieme di numeri primi piccoli tali che ogni termine di una successione sia
divisibile per uno di essi (da qui il nome di "ricoprente").
In base a tale tecnica Riesel mostrò che 509203 era un numero di Riesel.
Poichè finora non è stato trovato nessun insieme ricoprente per valori di k inferiori a 509203, si ipotizza
che esso sia il più piccolo numero di Riesel.
Il "problema di Riesel" è di determinare il più piccolo numero di Riesel.
Esempi
k=5 non può essere un numero di Riesel, perchè già con n=2 si ottiene che 5*2^2-1=19 è un numero primo.
k=509203 se lo si prova per 10 mila o 1 milione di valori di n non si ottiene un primo; ad esempio di fatti
con PARI/GP si possono scrivere due linee di comando del tipo:
a=509203
for(i=1,10000, b=a*2^i-1; if(isprime(b)==1,print("prime ",b," for n: ", i);); );
Il problema di Sierpinski
Tale problema è analogo a quello di Riesel. E' definito numero di Sierpinski un numero k dispari, che per ogni n, produce numeri composti k*2^n+1.
Qual è il più piccolo numero di Sierpinski? Nel 1962 John Selfridge propose come il più piccolo numero di Sierpinski 78557. Per dimostrare che esso è il più piccolo occorre dimostrare che i dispari precedenti non sono numeri di Sierpinski. Finora è stato dimostrato per tutti i numeri eccetto per diciassette di essi.
Ricerca algoritmica
Il progetto Riesel Sieve (analogo a Seventeen oppure Bust), progetto di calcolo distribuito, sta analizzando almeno 75 valori di k minori di 509203, che possono considerarsi PRN ("Probable Riesel's number").
Un interessante valore è il 659.
Un algoritmo proponibile in PARI/GP, per entrambi i problemi, che si può ulteriormente ottimizzare, è il seguente da me proposto.
/*
* Riesel's Number Research
* Sierpinski's Number Research
*
* Author : Rosario Turco
* Date : 16/04/2010
* Revision : 1.0
*/
RSL(start=3, end=1001, s=1, n=1000, r=1)=local();{
if( start%2 == 0, error("inserire uno start dispari"););
i = start;
while(i
RSLR(i,s,n,r);
i = i+2;
);
print("start : ", start," end : ", end);
}
RSLR(val,s=1,n=1000,r=1)=local(out="",trovato=0); {
for(j=s,n,
if( r == 1,
a = (val*2^j) - 1;
);
if( r == 0,
a = (val*2^j) + 1;
);
if( isprime(a) == 1,
trovato=1;
print("Nok at n: ", j);
j=n+1;
);
);
if(trovato == 0,
if( r == 1,
out = concat( out, "Probable Riesel's number: k=");
);
if( r == 0,
out = concat( out, "Probable Sierpinski's number: k=");
);
out = concat( out, val);
out = concat( out, " on ");
out = concat( out, n);
out = concat( out, " values ...");
print(out);
);
}
Riferimenti
Alla prox
sabato 17 aprile 2010
Commenti sui lavori di matematica
Commenti sui lavori di Matematica
Ho letto con attenzione vari commenti lasciati sul sito dell'amico e coautore dott. Michele Nardelli
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/commenti
I commenti benevoli si riferivano spesso sia a lavori congiunti che del dott. Nardelli, mio ottimo amico e valido matematico, con un interesse specifico nell'ambito della teoria delle stringhe e della Fisica matematica.
Ringrazio i lettori, e vi segnalo i tantissimi lavori del dott. Nardelli ed il suo sito http://nardelli.xoom.it/
Aggiungo anche il sito del prof. Watkins dell'università Exeter
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/tutorial.htm
su cui sono pubblicati articoli miei, della prof. Colonnese, del dott. Nardelli e del gruppo ERATOSTENE.
In ultimo vi segnalo articoli presenti sia sul sito www.gruppoeratostene.com
che sul sito Rudi Mathematici http://www.rudimathematici.com/blocknotes.htm
Ed un link del prof. Ignazio Licata (fisico teorico)
http://www.i-sem.net/profile/ignazio_licata.asp
Alla prox
Ho letto con attenzione vari commenti lasciati sul sito dell'amico e coautore dott. Michele Nardelli
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/commenti
I commenti benevoli si riferivano spesso sia a lavori congiunti che del dott. Nardelli, mio ottimo amico e valido matematico, con un interesse specifico nell'ambito della teoria delle stringhe e della Fisica matematica.
Ringrazio i lettori, e vi segnalo i tantissimi lavori del dott. Nardelli ed il suo sito http://nardelli.xoom.it/
Aggiungo anche il sito del prof. Watkins dell'università Exeter
http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/tutorial.htm
su cui sono pubblicati articoli miei, della prof. Colonnese, del dott. Nardelli e del gruppo ERATOSTENE.
In ultimo vi segnalo articoli presenti sia sul sito www.gruppoeratostene.com
che sul sito Rudi Mathematici http://www.rudimathematici.com/blocknotes.htm
Ed un link del prof. Ignazio Licata (fisico teorico)
http://www.i-sem.net/profile/ignazio_licata.asp
Alla prox
mercoledì 14 aprile 2010
Teoria dei numeri - Numeri di Keith inversi
L'inverso del Repfigit? E' il revRepfigit!
Se i Repfigit sono strani e rari oltre il milione, ancora più strabilianti sono gli inversi. I numeri revRepfigit sono come il 12: la loro sequenza con la stessa tecnica dei Repfigit dà il rovescio di 12 ovvero 21.
Altri revRepfigit sono ad esempio:
12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691, 6615651, 6738984, 8366363, 8422611, 26435142, 54734431, 57133931, 79112422, 351247542, 428899438, 489044741, 578989902, 3207761244, 4156222103, 5426705064, 5785766973, 6336657062, 48980740972, 51149725354, 83626284302, 94183600081, 98665175305, 1935391095868, 6002181268035, 6334708806271, 12348924235856, 27488180694681, 76365591939888, 309217509306732, 352062080376812, 714692062325732, 723735537269331, 2437358882180001, 6792079280704301, 62244424802562056, 203414193894268461, 217049132946408803, 415499563488189604, 561624665953167171, ... (Sloane's A097060; A. Vrba, pers. comm., Dec. 28, 2006).
Vedi anche http://mathworld.wolfram.com/KeithNumber.html
Ok. Le congetture da verificare sono almeno due (vedi blog precedente); ma le curiosità sono molte di più.
Ad esempio: esiste una proprietà di qualche tipo che ci permette di dire che un numero intero è Repfigit o un revRepfigit?Al momento occorre farsi la sequenza ... molti studiosi cercano la proprietà.
Seconda curiosità: esiste un modo per contare tali numeri in un intervallo da 1 a N? Una sorta di pi(N)?
Altra curiosità. A che possono servire?.
Nel frattempo che meditate, ho apportato una modifica all'algoritmo già presentato precedentemente in modo da permettere di gestire sia Repfigit che revRepfigit. Ottimizzazioni ulteriori sono possibili: le lascio ai volenterosi! Se riportate il tutto in linguaggio GMP e usate un bel dual core avete speranze di trovare nuovi record di Repfigit a 34 e oltre cifre ...
/*
* Keith's numbers Research (Repfigit and RevRepfigit)
* R. Turco
* rep=1 if I search Repfigit
* rep=0 if I search RevRepfigit
*
*/
KNRA(start=10, end=10000000, rep=1)=local();{
for(i=start,end,
KNR(i,rep);
);
}
KNR(val,rep)=local(value=0,p=0,s="",str="", out="", m=0, j=0, s0=0, s1=0, s2=0, trovato=0); {
s = concat(s,val);
m = length(s);
MyW=Vecsmall(s);
MyW2=Vecsmall(s);
v=vector(m);
v2=vector(m);
/* Reverse Vector */
MyW2=RevVect(s,m);
/* I calculate the sums */
for( j=1,m,
v[j] = MyW[j]-48;
v2[j] = MyW2[j]-48;
out = concat( out, v[j] );
out = concat( out, "," );
str = concat(str, v2[j]);
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
out = concat( out, "," );
v[1]=s1;
/*
I calculate the first value of the vector.
This is important in the revRepfigit
*/
value=GetValStr(s,m);
/* I get the value of the reverse vector */
s2=GetValStr(str,m);
p=1;
/* I search the Repfigit */
if( rep == 1,
while( trovato == 0 & s1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s1 == val, print("Repfigit trovato : ", val, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != val, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
);
/* RevRepfigit */
if( rep == 0 & (10 < s2) & (value%10)!=0,
while( trovato == 0 & s1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s2 == s1, print("revRepfigit trovato : ", val, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != val, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
);
}
GetValStr(str,len)=local(val=0,weight=0);{
MyStr=Vecsmall(str);
weight=len-1;
for(k=1,len,
val = (MyStr[k]-48)*(10^(weight)) + val;
weight--;
);
return(val);
}
RevVect(str,len)=local(k=0,j=0);{
MyWA=Vecsmall(str);
MyWB=Vecsmall(str);
k=len;
j=1;
while( k>0,
MyWB[k]=MyWA[j];
k--;
j++;
);
return(MyWB);
}
Alla prox
Se i Repfigit sono strani e rari oltre il milione, ancora più strabilianti sono gli inversi. I numeri revRepfigit sono come il 12: la loro sequenza con la stessa tecnica dei Repfigit dà il rovescio di 12 ovvero 21.
Altri revRepfigit sono ad esempio:
12, 24, 36, 48, 52, 71, 341, 682, 1285, 5532, 8166, 17593, 28421, 74733, 90711, 759664, 901921, 1593583, 4808691, 6615651, 6738984, 8366363, 8422611, 26435142, 54734431, 57133931, 79112422, 351247542, 428899438, 489044741, 578989902, 3207761244, 4156222103, 5426705064, 5785766973, 6336657062, 48980740972, 51149725354, 83626284302, 94183600081, 98665175305, 1935391095868, 6002181268035, 6334708806271, 12348924235856, 27488180694681, 76365591939888, 309217509306732, 352062080376812, 714692062325732, 723735537269331, 2437358882180001, 6792079280704301, 62244424802562056, 203414193894268461, 217049132946408803, 415499563488189604, 561624665953167171, ... (Sloane's A097060; A. Vrba, pers. comm., Dec. 28, 2006).
Vedi anche http://mathworld.wolfram.com/KeithNumber.html
Ok. Le congetture da verificare sono almeno due (vedi blog precedente); ma le curiosità sono molte di più.
Ad esempio: esiste una proprietà di qualche tipo che ci permette di dire che un numero intero è Repfigit o un revRepfigit?Al momento occorre farsi la sequenza ... molti studiosi cercano la proprietà.
Seconda curiosità: esiste un modo per contare tali numeri in un intervallo da 1 a N? Una sorta di pi(N)?
Altra curiosità. A che possono servire?.
Nel frattempo che meditate, ho apportato una modifica all'algoritmo già presentato precedentemente in modo da permettere di gestire sia Repfigit che revRepfigit. Ottimizzazioni ulteriori sono possibili: le lascio ai volenterosi! Se riportate il tutto in linguaggio GMP e usate un bel dual core avete speranze di trovare nuovi record di Repfigit a 34 e oltre cifre ...
/*
* Keith's numbers Research (Repfigit and RevRepfigit)
* R. Turco
* rep=1 if I search Repfigit
* rep=0 if I search RevRepfigit
*
*/
KNRA(start=10, end=10000000, rep=1)=local();{
for(i=start,end,
KNR(i,rep);
);
}
KNR(val,rep)=local(value=0,p=0,s="",str="", out="", m=0, j=0, s0=0, s1=0, s2=0, trovato=0); {
s = concat(s,val);
m = length(s);
MyW=Vecsmall(s);
MyW2=Vecsmall(s);
v=vector(m);
v2=vector(m);
/* Reverse Vector */
MyW2=RevVect(s,m);
/* I calculate the sums */
for( j=1,m,
v[j] = MyW[j]-48;
v2[j] = MyW2[j]-48;
out = concat( out, v[j] );
out = concat( out, "," );
str = concat(str, v2[j]);
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
out = concat( out, "," );
v[1]=s1;
/*
I calculate the first value of the vector.
This is important in the revRepfigit
*/
value=GetValStr(s,m);
/* I get the value of the reverse vector */
s2=GetValStr(str,m);
p=1;
/* I search the Repfigit */
if( rep == 1,
while( trovato == 0 & s1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s1 == val, print("Repfigit trovato : ", val, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != val, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
);
/* RevRepfigit */
if( rep == 0 & (10 < s2) & (value%10)!=0,
while( trovato == 0 & s1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s2 == s1, print("revRepfigit trovato : ", val, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != val, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
);
}
GetValStr(str,len)=local(val=0,weight=0);{
MyStr=Vecsmall(str);
weight=len-1;
for(k=1,len,
val = (MyStr[k]-48)*(10^(weight)) + val;
weight--;
);
return(val);
}
RevVect(str,len)=local(k=0,j=0);{
MyWA=Vecsmall(str);
MyWB=Vecsmall(str);
k=len;
j=1;
while( k>0,
MyWB[k]=MyWA[j];
k--;
j++;
);
return(MyWB);
}
Alla prox
lunedì 12 aprile 2010
Setacciatore di Repfigit
Algoritmo per i numeri di Keith
Vi presentiamo un algoritmo piuttosto veloce, per la ricerca dei numeri Repfigit o numeri di Keith, che occupa poca memoria grazie ad una semplice tecnica di shifting ciclico su un vettore di dimensione pari agli m digit, che costituiscono un numero. Con esso potrete ritrovare tutti i valori oggi noti e tentare di spingervi sui Repfigit oltre i fatidici 34 digit ... vi servirà un pò di tempo però.
L'algoritmo eventualmente potrete modificarvelo anche per stampare su file i risultati. L'ho proposto anche su Wikipedia.
/*
* Keith's numbers Research (Repfigit) - R. Turco
*
*/
KNRA(start=10, end=100000)=local();{
for(i=start,end,
KNR(i);
);
}
KNR(i)=local(p=0,s="",out="",m=0,j=0, s0=0,s1=0,s2=0, trovato=0); {
s = concat(s,i);
m = length(s);
MyW=Vecsmall(s);
v=vector(m);
for( j=1,m,
v[j] = MyW[j]-48;
out = concat( out, v[j] );
out = concat( out, "," );
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
out = concat( out, "," );
v[1]=s1;
p=1;
while( trovato == 0 '&' s1 '<' i+1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s1 == i, print("Esempio trovato : ", i, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != i, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
}
Vi presentiamo un algoritmo piuttosto veloce, per la ricerca dei numeri Repfigit o numeri di Keith, che occupa poca memoria grazie ad una semplice tecnica di shifting ciclico su un vettore di dimensione pari agli m digit, che costituiscono un numero. Con esso potrete ritrovare tutti i valori oggi noti e tentare di spingervi sui Repfigit oltre i fatidici 34 digit ... vi servirà un pò di tempo però.
L'algoritmo eventualmente potrete modificarvelo anche per stampare su file i risultati. L'ho proposto anche su Wikipedia.
/*
* Keith's numbers Research (Repfigit) - R. Turco
*
*/
KNRA(start=10, end=100000)=local();{
for(i=start,end,
KNR(i);
);
}
KNR(i)=local(p=0,s="",out="",m=0,j=0, s0=0,s1=0,s2=0, trovato=0); {
s = concat(s,i);
m = length(s);
MyW=Vecsmall(s);
v=vector(m);
for( j=1,m,
v[j] = MyW[j]-48;
out = concat( out, v[j] );
out = concat( out, "," );
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
out = concat( out, "," );
v[1]=s1;
p=1;
while( trovato == 0 '&' s1 '<' i+1
p++;
if( p>m, p=1;);
s1 = 0;
for( j=1,m,
s1 = s1 + v[j];
);
out = concat( out, s1 );
if( s1 == i, print("Esempio trovato : ", i, " len : ", m); trovato = 1; print(out););
if( s1 != i, out = concat( out, "," ););
v[p] = s1;
);
}
domenica 11 aprile 2010
Teoria dei numeri - Numeri Repfigit o numeri di Keith
Teoria dei numeri - Numeri Repfigit o numeri di Keith
Il nome deriva da "replicating Fibonacci digit" ed indica i "numeri riproduttori di Fibonacci".
Si definisce numero repfigit o numero di Keith un numero n intero, costituito da m digit d1d2...dm, che
si rigenera all'interno di una sequenza del tipo:
d1, d2, ..., dm, s1=d1+d2+d3+...+dm, s2=s1+d2+...+dm, s3=s2+s1+d3+...+dm, ...
Generalizzando si consideri la sequenza definita da:
sk = dk (k = 1, 2, …, m) e
sk= sum(i=1,m,sk-i) (k>m).
Se sk=n per qualche k, allora n è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith o numero repfigit.
Esempi di repfigit
n=47 m=2 digit
4,7,11,18, 29, 47
n=1537 m=4 digit
1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537
E' nel 1987, che Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci.
Nel 1987 il numero repfigit più grande conosciuto era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, fu scoperto 44.121.607 e nello stesso anno il dottor Googol trovò che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono repfigit nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. Oggi sono stati scoperti numeri di questo tipo molto più grandi.
Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a m=5 cifre
m=2 14 19 28 47 61 75
m=3 197 742
m=4 1104 1537 2208 2580 3684 4788 7385 7647 7909
m=5 31331 34285 34348 55604 62662 86935 93993
Congettura di Keith
I numeri repfigit sono infiniti.
Altro problema
Esistono repfigit con m>34?
Riferimenti
La Magia dei numeri – Clifford Pickover – Sfide Matematiche
http://planetmath.org/encyclopedia/KeithNumber.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci#Voci_correlate (dove l'autore ha contribuito)
Il nome deriva da "replicating Fibonacci digit" ed indica i "numeri riproduttori di Fibonacci".
Si definisce numero repfigit o numero di Keith un numero n intero, costituito da m digit d1d2...dm, che
si rigenera all'interno di una sequenza del tipo:
d1, d2, ..., dm, s1=d1+d2+d3+...+dm, s2=s1+d2+...+dm, s3=s2+s1+d3+...+dm, ...
Generalizzando si consideri la sequenza definita da:
sk = dk (k = 1, 2, …, m) e
sk= sum(i=1,m,sk-i) (k>m).
Se sk=n per qualche k, allora n è un numero riproduttore di Fibonacci o numero di Keith o numero repfigit.
Esempi di repfigit
n=47 m=2 digit
4,7,11,18, 29, 47
n=1537 m=4 digit
1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1537
E' nel 1987, che Michael Keith ha introdotto il concetto dei numeri riproduttori di Fibonacci.
Nel 1987 il numero repfigit più grande conosciuto era un numero di 7 cifre, 7.913.837. Nel novembre 1989, fu scoperto 44.121.607 e nello stesso anno il dottor Googol trovò che i numeri 129.572.008 e 251.133.297 sono repfigit nell'intervallo definito tra 100 e 1.000 milioni. Oggi sono stati scoperti numeri di questo tipo molto più grandi.
Nella tab. seguente i numeri riproduttori di Fibonacci fino a m=5 cifre
m=2 14 19 28 47 61 75
m=3 197 742
m=4 1104 1537 2208 2580 3684 4788 7385 7647 7909
m=5 31331 34285 34348 55604 62662 86935 93993
Congettura di Keith
I numeri repfigit sono infiniti.
Altro problema
Esistono repfigit con m>34?
Riferimenti
La Magia dei numeri – Clifford Pickover – Sfide Matematiche
http://planetmath.org/encyclopedia/KeithNumber.html
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci#Voci_correlate (dove l'autore ha contribuito)
sabato 3 aprile 2010
Teoria dei numeri - Bateman
Teoria dei numeri - Bateman, zeta di Fibonacci e connessioni con la teoria delle stringhe
- La politica delle Cicale e delle formiche.
Siamo a Pasqua 2010, speriamo che sia un anno "buono" e benevolo per gli Informatici e per tanti lavoratori a rischio del posto di lavoro, che negli anni si sono sacrificati anche all'estero.
L'informatica non è un settore regolarizzato e specializzato come altri; ad esempio in edilizia un palazzo non lo può progettare ed eseguire uno qualsiasi! Nemmeno il geometra che, però, se iscritto all'albo può effettuare determinati tipi di lavori.
Oggi la moda di determinate aziende è di esternalizzare l'Information Technology, liberarsi degli informatici, perchè un costo per l'azienda; sembra quasi che quando ne hanno bisogno possano andare al supermercato a procurarseli (la commodity) acquistandosi anche prodotti buy, di moda e chiavi in mano (non ho mai conosciuto un prodotto buy che non si dovesse poi customizzare oppure che vada perfettamente d'accordo con i processi in essere dell'azienda).
Per i costi è più facile esternalizzare gli informatici verso società che in qualche modo negli anni tra mobilità, prepensionamenti, cassa integrazione e licenziamenti farà la "parte sporca". Che futuro per per tante famiglie italiane dal nord al sud? E' più facile distruggere che costruire in italia ...
Di solito accade che le forniture, a bassi costi, vengono fatte da ditte esterne con molti giovani, senza neanche un anno di lavoro oppure la gestione dei call center viene remotizzata, in un angolo qualsiasi della terra (India, Pakistan, Tunisia, Libia, etc) con scarsa qualità, fidelizzazione, sicurezza e riservatezza sulla fonia (voce) e i dati (fax, contratti etc). La mobilità del lavoro e non del lavoratore è un'arma a doppio taglio, che all alunga provoca disastri.
Non è la stessa cosa tra una situazione in cui il software viene fatto da un ragazzino, con contratto a progetto e assoldato per pochi spiccioli (e su cui spesso non viene richiesto nemmeno il certificato penale) o da un professionista del software (diplomato o laureato) e conoscitore delle esigenze della propria azienda. I dati trattati e gli strumenti, le metodologie ed il know-how devono essere nelle mani dell'azienda. Non esiste azienda senza informatica, ma soprattutto non esiste una azienda senza una informatica adatta a sè, cioè propria.
Il ragazzino bravo può fare sicuramente programmi per piccoli uffici, ma si hanno dei limiti per i sistemi enterprise end to end: non conosce bene tecnologie, metodologie (best practices), sicurezza e riservatezza, la necessaria qualità, i necessari test; ma soprattutto non conosce le logiche dei processi di business che sono legate all'azienda da almeno un ventennio, che sono quelle che le hanno permesso il prestigio raggiunto.
E' come se il software per l'analisi della staticità della vostro palazzo o di un ponte fosse affidato ad un ragazzino; oppure pensate al software biomedico che deve far funzionare le macchine per le operazioni a cui tutti noi oggi siamo abituati (perchè automatizzate e rese semplici) come cataratte, cuore o a tutto quello che deve garantire sicurezza umana (shuttle, computer, satelliti, sistemi di controllo). Per cui stiamo parlando di tempo di progettazione adeguati, qualità del software, sicurezza e riservatezza del personale, metodologia di progettazione, esecuzione di test di sistema, professionalità e skill.
Lo stesso dicasi per attività remote, complicate anche dalla differenza di lingua dove il costo tenderà comunque ad aumentare, perchè il processo di un progetto non può più essere light. Se è light ogni anomalia diventa un requisito non espresso da pagare, mentre se si scrivono tutti i dettagli possibili, i tempi di progetto e i costi aumentano.
Pensate che già attualmente i dati di traffico nazionale o internazionali compresi i vostri contratti ADSL, dei telefonini, delle linee, dei fax etc potrebbero essere gestiti, da persone a contratto a progetto o anche da sconosciuti remoti (In Tunisia, Libia, etc) dell'oriente o dei paesi arabi o di chissà quale paese.
I dati delle cause penali e civili o delle prove dei magistrati, procuratori e della polizia, se gestiti da ditte esterne, i cui dipendenti a contratto a progetto non hanno presentato nemmeno il certificato penale, potenzialmente potrebbero essere sotto gli occhi o le mani di persone poco raccomandabili.
Il remotizzare, poi, le attività (di supporto delle linee, ADSL, dei PC, call center etc) significa dipendere dall'estero, come la benzina, l'energia elettrica etc. Oggi risparmieremo dei soldi, poi all'innalzarsi del tenore di vita dei paesi poveri aumenterà il costo, per conseguenza, mentre sarà sparito dal nostro paese la figura professionale dell'informatico ...
Qua il problema non è l'eta di chi fa l'informatica, ma il know-how specifico, la regolamentazione dell'informatica e di chi la fa, per i diversi settori strategici: telecomunicazioni, giustizia, polizia, settori medici, settori di controllo, etc.
Lo stesso titolo di studio, che dovrebbe comportare livelli di conoscenza e potenzialità diverse, non è ben utilizzato in italia e nelle aziende; nè è a priori incanalato in un adeguato sistema di insegnamento e di selezione sul mercato del lavoro ...Oggi come oggi lo studio non paga, non significa meritocrazia, non significa riuscire a contribuire ad avere il proprio paese tra i più tecnologicamente avanzati ...
Vi piacerebbe tutto questo? Eppure sta succedendo sotto i vostri occhi ... L'informatica, cari italiani, vi costerà, tra qualche anno, molto di più di oggi perchè oggi è bistrattata, resa inutile da strategie e leggi che poco hanno a che fare con la creazione di unn volano fonte di ripresa economica, e che hanno molto a che fare con la logica degli utili da restituire alle banche e agli azionisti. E soprattutto intere generazioni saranno distolte su altri settori se più redditizi: lo troveremo un informatico italiano in Italia? Forse siamo l'ultima razza, l'ultimo dei moicani ... Anche qui c'è una principessa Pocahontas da immolare sull'altare dell'avidità. Si ragiona solo con i numeri ? E' corretto nell'immediato ma, poi, è fallimentare alla lunga: ma per i manager è meglio l'uovo ricco oggi, che la gallina domani! E' questa è la differenza tra le cicale e le formiche.
Nel frattempo che medidate sulle miserie umane, indotte da leggi e politiche senza senso e all'italiana, in un'era dove tutto è automatizzato e serve l'informatica per questo, dove la privacy e la sicurezza sono determinanti e ciecamente si creano falle di sicurezza di gestione dell'informatica, vi presentiamo la congettura di Bateman ed un articolo legato alla zeta di Fibonacci.
Eccovi i link:
http://www.gruppoeratostene.com/articoli/Bateman.pdf
In più vi segnaliamo l'articolo che fornisce una connessione tra la zeta di Fibonacci e la teoria delle stringhe:
http://www.gruppoeratostene.com/articoli/Fibonacci%27s%20zeta%20function.pdf
Un augurio di Buona Pasqua.
- La politica delle Cicale e delle formiche.
Siamo a Pasqua 2010, speriamo che sia un anno "buono" e benevolo per gli Informatici e per tanti lavoratori a rischio del posto di lavoro, che negli anni si sono sacrificati anche all'estero.
L'informatica non è un settore regolarizzato e specializzato come altri; ad esempio in edilizia un palazzo non lo può progettare ed eseguire uno qualsiasi! Nemmeno il geometra che, però, se iscritto all'albo può effettuare determinati tipi di lavori.
Oggi la moda di determinate aziende è di esternalizzare l'Information Technology, liberarsi degli informatici, perchè un costo per l'azienda; sembra quasi che quando ne hanno bisogno possano andare al supermercato a procurarseli (la commodity) acquistandosi anche prodotti buy, di moda e chiavi in mano (non ho mai conosciuto un prodotto buy che non si dovesse poi customizzare oppure che vada perfettamente d'accordo con i processi in essere dell'azienda).
Per i costi è più facile esternalizzare gli informatici verso società che in qualche modo negli anni tra mobilità, prepensionamenti, cassa integrazione e licenziamenti farà la "parte sporca". Che futuro per per tante famiglie italiane dal nord al sud? E' più facile distruggere che costruire in italia ...
Di solito accade che le forniture, a bassi costi, vengono fatte da ditte esterne con molti giovani, senza neanche un anno di lavoro oppure la gestione dei call center viene remotizzata, in un angolo qualsiasi della terra (India, Pakistan, Tunisia, Libia, etc) con scarsa qualità, fidelizzazione, sicurezza e riservatezza sulla fonia (voce) e i dati (fax, contratti etc). La mobilità del lavoro e non del lavoratore è un'arma a doppio taglio, che all alunga provoca disastri.
Non è la stessa cosa tra una situazione in cui il software viene fatto da un ragazzino, con contratto a progetto e assoldato per pochi spiccioli (e su cui spesso non viene richiesto nemmeno il certificato penale) o da un professionista del software (diplomato o laureato) e conoscitore delle esigenze della propria azienda. I dati trattati e gli strumenti, le metodologie ed il know-how devono essere nelle mani dell'azienda. Non esiste azienda senza informatica, ma soprattutto non esiste una azienda senza una informatica adatta a sè, cioè propria.
Il ragazzino bravo può fare sicuramente programmi per piccoli uffici, ma si hanno dei limiti per i sistemi enterprise end to end: non conosce bene tecnologie, metodologie (best practices), sicurezza e riservatezza, la necessaria qualità, i necessari test; ma soprattutto non conosce le logiche dei processi di business che sono legate all'azienda da almeno un ventennio, che sono quelle che le hanno permesso il prestigio raggiunto.
E' come se il software per l'analisi della staticità della vostro palazzo o di un ponte fosse affidato ad un ragazzino; oppure pensate al software biomedico che deve far funzionare le macchine per le operazioni a cui tutti noi oggi siamo abituati (perchè automatizzate e rese semplici) come cataratte, cuore o a tutto quello che deve garantire sicurezza umana (shuttle, computer, satelliti, sistemi di controllo). Per cui stiamo parlando di tempo di progettazione adeguati, qualità del software, sicurezza e riservatezza del personale, metodologia di progettazione, esecuzione di test di sistema, professionalità e skill.
Lo stesso dicasi per attività remote, complicate anche dalla differenza di lingua dove il costo tenderà comunque ad aumentare, perchè il processo di un progetto non può più essere light. Se è light ogni anomalia diventa un requisito non espresso da pagare, mentre se si scrivono tutti i dettagli possibili, i tempi di progetto e i costi aumentano.
Pensate che già attualmente i dati di traffico nazionale o internazionali compresi i vostri contratti ADSL, dei telefonini, delle linee, dei fax etc potrebbero essere gestiti, da persone a contratto a progetto o anche da sconosciuti remoti (In Tunisia, Libia, etc) dell'oriente o dei paesi arabi o di chissà quale paese.
I dati delle cause penali e civili o delle prove dei magistrati, procuratori e della polizia, se gestiti da ditte esterne, i cui dipendenti a contratto a progetto non hanno presentato nemmeno il certificato penale, potenzialmente potrebbero essere sotto gli occhi o le mani di persone poco raccomandabili.
Il remotizzare, poi, le attività (di supporto delle linee, ADSL, dei PC, call center etc) significa dipendere dall'estero, come la benzina, l'energia elettrica etc. Oggi risparmieremo dei soldi, poi all'innalzarsi del tenore di vita dei paesi poveri aumenterà il costo, per conseguenza, mentre sarà sparito dal nostro paese la figura professionale dell'informatico ...
Qua il problema non è l'eta di chi fa l'informatica, ma il know-how specifico, la regolamentazione dell'informatica e di chi la fa, per i diversi settori strategici: telecomunicazioni, giustizia, polizia, settori medici, settori di controllo, etc.
Lo stesso titolo di studio, che dovrebbe comportare livelli di conoscenza e potenzialità diverse, non è ben utilizzato in italia e nelle aziende; nè è a priori incanalato in un adeguato sistema di insegnamento e di selezione sul mercato del lavoro ...Oggi come oggi lo studio non paga, non significa meritocrazia, non significa riuscire a contribuire ad avere il proprio paese tra i più tecnologicamente avanzati ...
Vi piacerebbe tutto questo? Eppure sta succedendo sotto i vostri occhi ... L'informatica, cari italiani, vi costerà, tra qualche anno, molto di più di oggi perchè oggi è bistrattata, resa inutile da strategie e leggi che poco hanno a che fare con la creazione di unn volano fonte di ripresa economica, e che hanno molto a che fare con la logica degli utili da restituire alle banche e agli azionisti. E soprattutto intere generazioni saranno distolte su altri settori se più redditizi: lo troveremo un informatico italiano in Italia? Forse siamo l'ultima razza, l'ultimo dei moicani ... Anche qui c'è una principessa Pocahontas da immolare sull'altare dell'avidità. Si ragiona solo con i numeri ? E' corretto nell'immediato ma, poi, è fallimentare alla lunga: ma per i manager è meglio l'uovo ricco oggi, che la gallina domani! E' questa è la differenza tra le cicale e le formiche.
Nel frattempo che medidate sulle miserie umane, indotte da leggi e politiche senza senso e all'italiana, in un'era dove tutto è automatizzato e serve l'informatica per questo, dove la privacy e la sicurezza sono determinanti e ciecamente si creano falle di sicurezza di gestione dell'informatica, vi presentiamo la congettura di Bateman ed un articolo legato alla zeta di Fibonacci.
Eccovi i link:
http://www.gruppoeratostene.com/articoli/Bateman.pdf
In più vi segnaliamo l'articolo che fornisce una connessione tra la zeta di Fibonacci e la teoria delle stringhe:
http://www.gruppoeratostene.com/articoli/Fibonacci%27s%20zeta%20function.pdf
Un augurio di Buona Pasqua.
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