Ok, ma chi non vuole fare il salto e provare la maggior potenza delle altre piattaforme e vuole mantenere i piedi per terra, su quella terra che meglio conosce? Ok, anche per Windows esistono gruppi o persone di tutto il mondo che si occupano di primalità, fattorizzazione, con tutta la teoria migliore possibile: curve ellittiche, Sieve etc.
Alcuni link, veramenti importanti sono:
- http://www.ellipsa.eu/public/primo/primo.html - programma PRIMO
- http://gilchrist.ca/jeff/factoring/index.html- http://math.crg4.com/software.html
Qua basta scaricarsi le parti Windows, anche se esistono anche le versioni Linux/Unix.
Altri consigli sono al mio blog:
- http://mathbuildingblock.blogspot.com/2010/01/numeri-primi-tools-e-linguaggi.html
Alla prox
sabato 20 novembre 2010
Piattaforma Linux per la teoria dei numeri
Finora vi ho indicato molti strumenti per la Teoria dei numeri, ma un vero matematico che è anche un informatico/sperimentatore non può essere soddisfatto se non effettua il "salto" verso una piattaforma matematica completa, con tutti gli strumenti desiderati: C/C++/Java, Perl, GMP, PARI/GP, GP, ECPP, Maxima, Octave, Pari/GP, XAO e altro.
Occorre passare ad una "distro Linux" orientata alla Matematica (distro=distribuzione). Lo so si ha paura di partizionare Windows, fare il dual boot etc. Non occorre! Se sapete installare qualche programmino e volete anche un minimo osare, installiamo su Windows una macchina virtuale: VirtualBox http://www.virtualbox.org/wiki/Downloads
Scaricate la versione ultima per Windows x86/amd e installatela. Il sito è corredato di manuale ed esempi.
La VirtualBox vi consente di rimanere Windows e Linux indipendenti come ambienti. Qualsiasi cosa fate anche un danno, lo fate in un ambiente virtuale e non sul PC con Windows.
Gli sviluppatori conoscono VirtualBox perchè amano provare i propri programmi su più sistemi operativi pur possedendo un solo PC.
Poi vi consiglio come distro Linux matematica la "Knoppix Math" da scaricare da uno dei seguenti link:
- http://epidemiology.md.tsukuba.ac.jp/~mokada/R/knoppix/
- ftp://ftp.math.kobe-u.ac.jp/pub2/knoppix-math-cd/
- http://epidemiology.md.tsukuba.ac.jp/~mokada/R/
Scegliere l'ultima ISO dell'anno disponibile in versione inglese en (ufficialmente la distro di matematica è
giapponese). Ad esempio del 2010 usare: knoppix_v6.2.1-math-dvd-icms2010-20100730-en.iso
Sotto VirtualBox la ISO la si può caricare come CD-ROM virtuale (sempre configurando la VirtualBox) oppure la si può installare e poi configurare la VirtualBox per fare il boot da disco virtuale.
Per problemi e suggerimenti, conoscete la mia e-mail e potete contattarmi.
Alla prox
Occorre passare ad una "distro Linux" orientata alla Matematica (distro=distribuzione). Lo so si ha paura di partizionare Windows, fare il dual boot etc. Non occorre! Se sapete installare qualche programmino e volete anche un minimo osare, installiamo su Windows una macchina virtuale: VirtualBox http://www.virtualbox.org/wiki/Downloads
Scaricate la versione ultima per Windows x86/amd e installatela. Il sito è corredato di manuale ed esempi.
La VirtualBox vi consente di rimanere Windows e Linux indipendenti come ambienti. Qualsiasi cosa fate anche un danno, lo fate in un ambiente virtuale e non sul PC con Windows.
Gli sviluppatori conoscono VirtualBox perchè amano provare i propri programmi su più sistemi operativi pur possedendo un solo PC.
Poi vi consiglio come distro Linux matematica la "Knoppix Math" da scaricare da uno dei seguenti link:
- http://epidemiology.md.tsukuba.ac.jp/~mokada/R/knoppix/
- ftp://ftp.math.kobe-u.ac.jp/pub2/knoppix-math-cd/
- http://epidemiology.md.tsukuba.ac.jp/~mokada/R/
Scegliere l'ultima ISO dell'anno disponibile in versione inglese en (ufficialmente la distro di matematica è
giapponese). Ad esempio del 2010 usare: knoppix_v6.2.1-math-dvd-icms2010-20100730-en.iso
Sotto VirtualBox la ISO la si può caricare come CD-ROM virtuale (sempre configurando la VirtualBox) oppure la si può installare e poi configurare la VirtualBox per fare il boot da disco virtuale.
Per problemi e suggerimenti, conoscete la mia e-mail e potete contattarmi.
Alla prox
giovedì 18 novembre 2010
Calcoli mentali rapidi su grandi numeri
Nella matematica si verificano spesso problematiche che confluiscono nel Teorema di Godel: una branchia matematica non è auto-dimostrante. Ad esempio proprietà dell'aritmetica non si riescono a dimostrare con l'aritmetica stessa e si deve ricorrere all'algebra, e questo è vero per ogni branchia e quando non esiste un settore o non è stato esplorato sufficientemente una congettura rimane un Teorema mancato, in attesa di nuovi strumenti matematici esistenti o da creare (magari anche il settore matematico è da creare). Esistono molte congetture, difatti, non ancora rigorosamente dimostrate, ma sono presenti moltissime evidenze sulla loro verità.
L'algebra ha un fascino enorme, perchè permette di manipolare espressioni e termini, equazioni, facendo apparire e sparire elementi fino ad arrivare ad una dimostrazione di verità o falsità.
Ad esempio il problema classico di Sophie Saint Germain di verificare se a^4 + 4 è composto, va affrontato con qualche passaggio del tipo:
a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2-2a)(a^2-2+2a)
In pratica appare il prodotto notevole, quindi a^4 + 4 è costituito sicuramente da due fattori, per cui è composto.
L'algebra ed il prodotto notevole sono spesso dietro a a calcoli mentali con numeri enormi, che non hanno nulla di prodigioso in chi lo esegue. Il fatto è che la maggioranza delle persone, anche il sottoscritto, tende a fare i calcoli con la moltiplicazione classica e gli occorre almeno carta e penna per disporre di una memoria tampone.
A tutti è noto però che esistono metodi mentali per approssimare rapidamente il calcolo e poi correggerlo. Un caso semplice a cui tutti ricorrono è nelle somme o nelle differenze; ad esempio con 112+231 è più facile fare 112+200=312 e poi correggere di 31 a 343.
Tecniche per le potenze
Con le potenze esistono diverse teniche per rendere rapido un calcolo con l'aiuto dell'algebra.
Tecnica 1 - adattare il calcolo ad un prodotto notevole del tipo:
a^2 = a^2 - b^2 + b^2 = (a+b)(a-b)+b^2
Sopra (a+b)(a-b) è il prodotto notevole e b è il termine di aggiusto in modo che (a-b) oppure (a+b) sia un numero tondo e facile per fare i calcoli.
Tecnica 2 - regola del 5
Una seconda tecnica sulle potenze è osservare come termina il numero se per 5, allora si applica la regola del 5: Il quadrato di un numero che termina per 5 a5^2 = a*(a+1) concatenato con 25.
Vediamo alcuni esempi per le potenze:
1) 27^2
Qui è più facile aggiustare a 30
(27+3)(27-3)+3^2 = 30*24+9=3*10*24+9=3*240+9=3*200+40*3+9=600+120+9=729
2) 63^2
(63-3)(63+3)+3^2=6*10*66+9=6*660+9=3969
3) 35^2 = 1225
ricordando che 3*4=12 concatenando 25
4) 65^2 = 4225
5) 75^2 = 5625
Metodo generale per la moltiplicazione
Regola per a*b con a>b
Mettere il tutto nella forma (a+c)(b-c)+c*((a+c)-b) con a>b facendo in modo che a+c diventi un numero semplice multiplo di 10 ad esempio o comunque facile da calcolare.
Esempio
997*986
997 è vicino a 1000 per cui pensiamo ad un (a+c) con c=3, mentre 986 è lontano di 14=(b-c) da 1000; per cui si può scrivere:
(997+3)*(986-3)+3*14=1000*983+3*14=983000+42=983042
Scorciatoie basate sul numero di cifre
Prima tecnica:
Se abbiamo due numeri di tre cifre abc*abd con cifra delle centinaia uguale e somma delle unità pari a 10 allora separiamo i calcoli ab*a(b+1) e c*d. Il risultato si ottiene concatenando le cifre ottenute.
Esempio
783*787
si moltiplica 78*79 col metodo precedente e 3*7=21.
Quindi 78*79=(79+21)(78-21)+21*22=100*57+22+440=5722+440=6162
per cui concatenando si ottiene che:
783*787=616221
Seconda tecnica:
usare un prodotto notevole osservando la distanza tra i due numeri e usando il numero medio
Esempio
783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4
Possiamo ora usare i metodi delle potenze precedenti (regola del 5), il riusultato esce da
78*79 concatenato a 25 quindi 616225, per cui
783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4=616221
Tecniche di predizione delle ultime cifre
Regole delle cifre 1,5,6
Sicuramente tutti abbiamo notato che se moltiplichiamo due numeri che hanno entrambi il 5 finale, il risultato avrà il 5 finale.
Questo accade anche per 1 e 6 (ovviamente dimostrabile).
Questo per dire che se vi chiedono l'ultima cifra di 3456^323342 è sicuramente 6, come per 345621^342 è 1 e per 815^723 è 5.
Regola del 25 e 76
Il prodotto di due numeri che terminano per 76 conterrà 76 alla fine e così per il 25.
Esempio
8176^2 = 66846976
3176 * 2576 = 8181376
Ma ne esistono anche tante altre regole: per la divisibilità, per dire le cifre decimali di una divisione etc.
Alla prox
L'algebra ha un fascino enorme, perchè permette di manipolare espressioni e termini, equazioni, facendo apparire e sparire elementi fino ad arrivare ad una dimostrazione di verità o falsità.
Ad esempio il problema classico di Sophie Saint Germain di verificare se a^4 + 4 è composto, va affrontato con qualche passaggio del tipo:
a^4+4=a^4+4a^2+4-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2-2a)(a^2-2+2a)
In pratica appare il prodotto notevole, quindi a^4 + 4 è costituito sicuramente da due fattori, per cui è composto.
L'algebra ed il prodotto notevole sono spesso dietro a a calcoli mentali con numeri enormi, che non hanno nulla di prodigioso in chi lo esegue. Il fatto è che la maggioranza delle persone, anche il sottoscritto, tende a fare i calcoli con la moltiplicazione classica e gli occorre almeno carta e penna per disporre di una memoria tampone.
A tutti è noto però che esistono metodi mentali per approssimare rapidamente il calcolo e poi correggerlo. Un caso semplice a cui tutti ricorrono è nelle somme o nelle differenze; ad esempio con 112+231 è più facile fare 112+200=312 e poi correggere di 31 a 343.
Tecniche per le potenze
Con le potenze esistono diverse teniche per rendere rapido un calcolo con l'aiuto dell'algebra.
Tecnica 1 - adattare il calcolo ad un prodotto notevole del tipo:
a^2 = a^2 - b^2 + b^2 = (a+b)(a-b)+b^2
Sopra (a+b)(a-b) è il prodotto notevole e b è il termine di aggiusto in modo che (a-b) oppure (a+b) sia un numero tondo e facile per fare i calcoli.
Tecnica 2 - regola del 5
Una seconda tecnica sulle potenze è osservare come termina il numero se per 5, allora si applica la regola del 5: Il quadrato di un numero che termina per 5 a5^2 = a*(a+1) concatenato con 25.
Vediamo alcuni esempi per le potenze:
1) 27^2
Qui è più facile aggiustare a 30
(27+3)(27-3)+3^2 = 30*24+9=3*10*24+9=3*240+9=3*200+40*3+9=600+120+9=729
2) 63^2
(63-3)(63+3)+3^2=6*10*66+9=6*660+9=3969
3) 35^2 = 1225
ricordando che 3*4=12 concatenando 25
4) 65^2 = 4225
5) 75^2 = 5625
Metodo generale per la moltiplicazione
Regola per a*b con a>b
Mettere il tutto nella forma (a+c)(b-c)+c*((a+c)-b) con a>b facendo in modo che a+c diventi un numero semplice multiplo di 10 ad esempio o comunque facile da calcolare.
Esempio
997*986
997 è vicino a 1000 per cui pensiamo ad un (a+c) con c=3, mentre 986 è lontano di 14=(b-c) da 1000; per cui si può scrivere:
(997+3)*(986-3)+3*14=1000*983+3*14=983000+42=983042
Scorciatoie basate sul numero di cifre
Prima tecnica:
Se abbiamo due numeri di tre cifre abc*abd con cifra delle centinaia uguale e somma delle unità pari a 10 allora separiamo i calcoli ab*a(b+1) e c*d. Il risultato si ottiene concatenando le cifre ottenute.
Esempio
783*787
si moltiplica 78*79 col metodo precedente e 3*7=21.
Quindi 78*79=(79+21)(78-21)+21*22=100*57+22+440=5722+440=6162
per cui concatenando si ottiene che:
783*787=616221
Seconda tecnica:
usare un prodotto notevole osservando la distanza tra i due numeri e usando il numero medio
Esempio
783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4
Possiamo ora usare i metodi delle potenze precedenti (regola del 5), il riusultato esce da
78*79 concatenato a 25 quindi 616225, per cui
783*787 = (785+2)(785-2)=785^2-4=616221
Tecniche di predizione delle ultime cifre
Regole delle cifre 1,5,6
Sicuramente tutti abbiamo notato che se moltiplichiamo due numeri che hanno entrambi il 5 finale, il risultato avrà il 5 finale.
Questo accade anche per 1 e 6 (ovviamente dimostrabile).
Questo per dire che se vi chiedono l'ultima cifra di 3456^323342 è sicuramente 6, come per 345621^342 è 1 e per 815^723 è 5.
Regola del 25 e 76
Il prodotto di due numeri che terminano per 76 conterrà 76 alla fine e così per il 25.
Esempio
8176^2 = 66846976
3176 * 2576 = 8181376
Ma ne esistono anche tante altre regole: per la divisibilità, per dire le cifre decimali di una divisione etc.
Alla prox
lunedì 15 novembre 2010
La Matematica ed i giochi
La matematica pone sfide a qualsiasi livello, scientifico e professionale, ma anche ludico e dilettevole. Spesso soluzioni di matematica dilettevole si trasformano, negli anni, in teoria apri-pista per i problemi professionali. Un esempio è stato il problema dei ponti di Konosberg di Eulero da cui poi è nata la Teoria dei grafi, la Topologia etc.
Dal diletto sono nati problemi, teoremi e teorie e così sarà anche in futuro. Nomi di esperti di matematica dilettevole potrebbero essere: Varahamihira, Narayana, Bachet de Meziriac, Fermat, La Hire, Eulero, Beniamino Franklin, Edouard Lucas, Jean Pierre Alem, Mariano Mataix,Googol, Yakov Perelman, Henrey Dudney, Martin Gardner. Ma sicuramente ne abbiamo tralasciati tanti altri altrettanto noti ed importanti: impossibile nominarli tutti.
Esaminiamo nel seguito un argomento di matematica che in Europa ha avuto radici nel Cinquecento: i quadrati magici. Hanno un fascino esoterico (citati anche nei libri di Dan Brown), un fascino particolare dovuto alla simmetria esistente in essi, fino ad esplodere nel Sudoku o nel tridimensionale gioco del cubo di Rubik. Chissà se qualcuno mostrerà qualcosa di analogo con un 'ipercubo magico'. In realtà la teoria dei quadrati magici risale al VI secolo con gli Indiani poi tramandata agli Arabi nel IX secolo.
I quadrati magici sono caratterizzati da innumerovoli proprietà a seconda del tipo di quadrato si considera; comunque le proprietà più semplici sono:
a) la somma delle diagonali o delle linee è sempre N, che è detto 'numero magico' del quadrato
b) Se il quadrato è nxn, N è la n-esima parte della somma di tutti i numeri del quadrato.
c) I numeri non sono ripetuti nel quadrato
Vediamo qualche problema.
Problema 1: Trovare N e K nel quadrato magico 3x3 ponendo k al centro e sapendo che esso è costituito
solo di numeri dal 10 al 18.
Supponiamo di avere un quadrato 3x3 come segue:
|a|b |c
| |K|
|d|e|f
Dall'algebra e dal numero N risulta allora che la somma delle diagonali è N e la somma di una traversa dall'alto in basso è N:
a+k+f=N
b+k+e=N
c+k+d=N
Se sommiamo le tre equazioni si ottiene che: (a+b+c)+3k+(d+e+f)=3N; però in un quadrato magico anche a+b+c=N e d+e+f=N per cui: k=N/3 o 3k=N. N è 1/3 della somma degli elementi da 10 a 18:
N = 1/3 (10+11+12+13+14+15+16+17+18)=42 e k=14.
Problema 2 - Quadrato dei primi: Completare il quadrato 3x3 seguente:
|67| |43
| | |
| |73|
Dal problema 1 abbiamo imparato che conviene mettere un k al centro e cercare di completare una riga o una diagonale:
|67|b |43
| |k |
| |73|
Qui deve essere: 67+b+43=b+k+73=3K per cui b=1 e k=37 N=3k=111
Il quadrato magico per le ovvie differenze deve essere
|67|1 |43
|13|37|61
|31|73|7
Questo quadrato è dovuto a Dudney ed è detto "Quadrato dei primi" poichè è costituito da soli numeri primi.
Problema 3: Sudoku o Novenario. Trovare il numero magico N del Sudoku 3x3.
In un quadrato 3x3 del Sudoku la somma di tutti i numeri è quella da 1 a 9, per cui N=1/3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=45/3=15. Il k=N/3=5 può essere messa al centro del Sudoku.
Se poniamo in un angolo il 9 otteniamo:
|9 | |
| |5 |
| | |1
Ma così possiamo avere una sola soluzione per ottenere N=15 in riga e colonna: 4,2; il che non va bene perchè sarebbe una ripetizione. Di conseguenza il 9 non può stare nei vertici. In tal caso abbiamo due 'soluzioni principali' e tutte le altre si ottengono ruotando il quadrato:
|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6
|2 |9 |4
|7 |5 |3
|6 |1 |8
Il quadrato di Albrecht Durer
In un'opera esoterica di Albrecht Durer, "Melancholia" del 1514 c'era raffigurato un particolare quadrato magico 4x4.
|a|b |c |d
|e|x |y |f
|g|w|z |h
|i |j |k |l
Problema 4: Completiamo il quadrato di Albrecht Durer suppoenendo di avere:
|16| | |13
| | | |
| |6| |
| | | |1
E' costituito da un quadrato interno x,y,w,z 2x2 e da una cornice esterna a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l. Le equazioni in gioco sono quindi:
a+x+z+l=N
b+x+w+j=N
c+y+z+k=N
d+y+w+i=N
Sommando le 4 equazioni otteniamo:
(a+b+c+d)+2(x+y+z+w)+(l+j+k+i)=4N poichè (a+b+c+d)=N e (l+j+k+i)=N allora è evidente che x+y+z+w=N (proprietà a)
Però è anche vero che se sommiamo solo
a+x+z+l=N
d+y+w+i=N
otteniamo che: (a+d+l+i)+(x+y+z+w)=2N quindi (a+d+l+i)=N cioè la somma degli angoli è pari a N (proprietà b).
Il quadrato gode della proprietà c che dividendolo in 4 quadrati alto a sinistra, basso a sinistra, alto a destra e
basso a destra la somma dei numeri è uguale a N. A questo punto possiamo abbozzare alla soluzione del problema:
1) Si suppone che il massimo numero è 16 e che il quadrato contenga da 1 a 16.
2) Questa volta il numero magico è 1/4 del totale dei 16 numeri (1..16) ovvero N=34.
3) per la proprietà b allora il numero all'angolo sinistro in basso è N-16-13-1=34-16-13-1=4.
|16| | |13
| | | |
| |6| |
| 4 | | |1
La diagonale si può completare N-13-6-4=34-23=11
|16| | |13
| | |11|
| |6| |
| 4 | | |1
b,c possono essere solo 3,2 oppure 2,3 perchè la riga a+b+c+d=N
|16|3| 2 |13
| | |11|
| |6| |
| 4 | | |1
j e k possono essere solo 15,14 o 14,15 (Durer scelsa 15,14 così da avere la data 1514):
|16|3 | 2|13
| | |11|
| |6 | |
| 4 |15|14|1
A questo punto si riempe il quadrato interno facilmente
|16|3 | 2 |13
| |10|11|
| |6 | 7 |
| 4 |15|14|1
Alla fine è:
|16|3 | 2 |13
| 5 |10|11| 8
| 9 |6 | 7 |12
| 4 |15|14| 1
Ne esistono tante altre versioni:
- quadrato bimagico che è un quadrato che resta magico se si sostituiscono i suoi elementi con i i rispettivi
quadrati,
- quadrato trimagico, come prima ma con i cubi
- quadrato magico geometrico, dove i prodotti delle righe (non le somme), delle traverse e delle diagonali
sono uguali
- quadrati magici costituiti da lettere (il celebre SATOR rinvenuto negli scavi di Pompei del 79 d.c.)
- quadrato di 7, contenente i 49 iniziali numeri primi
- quadrati magici in base non decimale
Interessante è la trattazione su essi fatta da Jean-Pierre Alem nel suo "Giochi di ingegno e divertimenti matematici".
Sui quadrati magici se non si dispone di un metodo matematico, si possono perdere mesi prima di trovare la soluzione. Interessante è ovviamente il metodo per costruirli. Narayana, nel suo Ganida-Kamudi, illustrò un metodo di costruzione per i quadrati di lato 4n, 4n+-1, 4n+2. I 4n erano basati sulla mossa del cavallo degli scacchi. Per i primi due gruppi mostrò un criterio di costruzione per sovrapposizione di due quadrati (secoli dopo ripreso da La Hire).
Per i giochi matematici in generale vi consiglio anche Martin Gartner con il suo "Esperienza A-aH!" con cenni al "pensiero laterale", Edouard Lucas con "Il gioco militare" e "Il labirinto". Non sono da meno, per gli appassionati: Yakov Perelman con "Algebra ricreativa" tutto dedicato alla Teoria dei Numeri ed Hernry Dudeney col suo "L'enigma del mandarino".
Edouard Lucas nei suoi libri espone giochi famosi della sua epoca ma anche sue invenzioni: "La presa della bastiglia", la Torre di Hanoi, il gioco Paradoxal, il problema delle otto regine, problemi di Dama, gioco del Domino, problemi di giochi militari, problemi sui labirinti, problemi di teoria dei numeri etc.
Lucas ovviamente è famosissimo per i suoi enormi contributi alla Teoria dei Numeri (procedimento della sequenza di Lucas e vari Teoremi).
Il TRIS
Chi non ha mai giocato a TRIS? Si tratta di un quadrato 3x3 dove a turno ogni giocatore mette una 'x' oppure un cerchietto 'o' ad occupare le caselle.In esso vince chi riesce a mettere insieme tre simboli di fila in diagonale o lungo una traversa verticale o orizzontale. OK, il TRIS non ha niente di magico, ma capiremo con il gioco del quindici perchè l'ho introdotto.
La strategia da adottare nel TRIS è semplice. Si occupa quella casella che offre più potenziali tris successivi. Ad esempio se si occupa il centro ci sono 4 potenziali tris, se si occupa un angolo si hanno 3 potenziali tris.
Le risposte devono seguire lo stesso criterio. Se giocato in questo modo si giunge sempre alla patta, cioè il TRIS è un gioco a "somma zero" (Teoria dei giochi).
Un esempio di giocata è il seguente:
| | |
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
|X | |
| |O |O
| |X |
|X | |
|X |O |O
| |X |
|X | |
Ha vinto il giocatore delle X. Se invece
| | |
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
|X | |
|O | |O
| |X |
|X | |
|O |X |O
| |X |
|X | |
|O |X |O
| |X |
|X |O |
|O |X |O
| |X |O
|X |O |
|O |X |O
| |X |O
|X |O |X
Patta.
Il gioco del quindici
Supponiamo di avere una fila di 9 caselle in successione: due giocatori a turno devono mettere un numero in una posizione qualsiasi.Vince chi fa somma 15 per prima. Che strategia si adotta? Se non lo si sa si è notevolmente svantaggiati.
Lucas dimostrò che il gioco del 15 equivale ad un quadrato magico 3x3 con somma 15, da tenere a memoria:
|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6
E la strategia di gioco da attuare? Quella del TRIS! La probabilità di vittoria è buona, se l'avversario ignora di dover giocare a TRIS su un quadrato magico, ma si arriva alla patta in caso contrario.
Alla prox
Dal diletto sono nati problemi, teoremi e teorie e così sarà anche in futuro. Nomi di esperti di matematica dilettevole potrebbero essere: Varahamihira, Narayana, Bachet de Meziriac, Fermat, La Hire, Eulero, Beniamino Franklin, Edouard Lucas, Jean Pierre Alem, Mariano Mataix,Googol, Yakov Perelman, Henrey Dudney, Martin Gardner. Ma sicuramente ne abbiamo tralasciati tanti altri altrettanto noti ed importanti: impossibile nominarli tutti.
Esaminiamo nel seguito un argomento di matematica che in Europa ha avuto radici nel Cinquecento: i quadrati magici. Hanno un fascino esoterico (citati anche nei libri di Dan Brown), un fascino particolare dovuto alla simmetria esistente in essi, fino ad esplodere nel Sudoku o nel tridimensionale gioco del cubo di Rubik. Chissà se qualcuno mostrerà qualcosa di analogo con un 'ipercubo magico'. In realtà la teoria dei quadrati magici risale al VI secolo con gli Indiani poi tramandata agli Arabi nel IX secolo.
I quadrati magici sono caratterizzati da innumerovoli proprietà a seconda del tipo di quadrato si considera; comunque le proprietà più semplici sono:
a) la somma delle diagonali o delle linee è sempre N, che è detto 'numero magico' del quadrato
b) Se il quadrato è nxn, N è la n-esima parte della somma di tutti i numeri del quadrato.
c) I numeri non sono ripetuti nel quadrato
Vediamo qualche problema.
Problema 1: Trovare N e K nel quadrato magico 3x3 ponendo k al centro e sapendo che esso è costituito
solo di numeri dal 10 al 18.
Supponiamo di avere un quadrato 3x3 come segue:
|a|b |c
| |K|
|d|e|f
Dall'algebra e dal numero N risulta allora che la somma delle diagonali è N e la somma di una traversa dall'alto in basso è N:
a+k+f=N
b+k+e=N
c+k+d=N
Se sommiamo le tre equazioni si ottiene che: (a+b+c)+3k+(d+e+f)=3N; però in un quadrato magico anche a+b+c=N e d+e+f=N per cui: k=N/3 o 3k=N. N è 1/3 della somma degli elementi da 10 a 18:
N = 1/3 (10+11+12+13+14+15+16+17+18)=42 e k=14.
Problema 2 - Quadrato dei primi: Completare il quadrato 3x3 seguente:
|67| |43
| | |
| |73|
Dal problema 1 abbiamo imparato che conviene mettere un k al centro e cercare di completare una riga o una diagonale:
|67|b |43
| |k |
| |73|
Qui deve essere: 67+b+43=b+k+73=3K per cui b=1 e k=37 N=3k=111
Il quadrato magico per le ovvie differenze deve essere
|67|1 |43
|13|37|61
|31|73|7
Questo quadrato è dovuto a Dudney ed è detto "Quadrato dei primi" poichè è costituito da soli numeri primi.
Problema 3: Sudoku o Novenario. Trovare il numero magico N del Sudoku 3x3.
In un quadrato 3x3 del Sudoku la somma di tutti i numeri è quella da 1 a 9, per cui N=1/3(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=45/3=15. Il k=N/3=5 può essere messa al centro del Sudoku.
Se poniamo in un angolo il 9 otteniamo:
|9 | |
| |5 |
| | |1
Ma così possiamo avere una sola soluzione per ottenere N=15 in riga e colonna: 4,2; il che non va bene perchè sarebbe una ripetizione. Di conseguenza il 9 non può stare nei vertici. In tal caso abbiamo due 'soluzioni principali' e tutte le altre si ottengono ruotando il quadrato:
|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6
|2 |9 |4
|7 |5 |3
|6 |1 |8
Il quadrato di Albrecht Durer
In un'opera esoterica di Albrecht Durer, "Melancholia" del 1514 c'era raffigurato un particolare quadrato magico 4x4.
|a|b |c |d
|e|x |y |f
|g|w|z |h
|i |j |k |l
Problema 4: Completiamo il quadrato di Albrecht Durer suppoenendo di avere:
|16| | |13
| | | |
| |6| |
| | | |1
E' costituito da un quadrato interno x,y,w,z 2x2 e da una cornice esterna a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l. Le equazioni in gioco sono quindi:
a+x+z+l=N
b+x+w+j=N
c+y+z+k=N
d+y+w+i=N
Sommando le 4 equazioni otteniamo:
(a+b+c+d)+2(x+y+z+w)+(l+j+k+i)=4N poichè (a+b+c+d)=N e (l+j+k+i)=N allora è evidente che x+y+z+w=N (proprietà a)
Però è anche vero che se sommiamo solo
a+x+z+l=N
d+y+w+i=N
otteniamo che: (a+d+l+i)+(x+y+z+w)=2N quindi (a+d+l+i)=N cioè la somma degli angoli è pari a N (proprietà b).
Il quadrato gode della proprietà c che dividendolo in 4 quadrati alto a sinistra, basso a sinistra, alto a destra e
basso a destra la somma dei numeri è uguale a N. A questo punto possiamo abbozzare alla soluzione del problema:
1) Si suppone che il massimo numero è 16 e che il quadrato contenga da 1 a 16.
2) Questa volta il numero magico è 1/4 del totale dei 16 numeri (1..16) ovvero N=34.
3) per la proprietà b allora il numero all'angolo sinistro in basso è N-16-13-1=34-16-13-1=4.
|16| | |13
| | | |
| |6| |
| 4 | | |1
La diagonale si può completare N-13-6-4=34-23=11
|16| | |13
| | |11|
| |6| |
| 4 | | |1
b,c possono essere solo 3,2 oppure 2,3 perchè la riga a+b+c+d=N
|16|3| 2 |13
| | |11|
| |6| |
| 4 | | |1
j e k possono essere solo 15,14 o 14,15 (Durer scelsa 15,14 così da avere la data 1514):
|16|3 | 2|13
| | |11|
| |6 | |
| 4 |15|14|1
A questo punto si riempe il quadrato interno facilmente
|16|3 | 2 |13
| |10|11|
| |6 | 7 |
| 4 |15|14|1
Alla fine è:
|16|3 | 2 |13
| 5 |10|11| 8
| 9 |6 | 7 |12
| 4 |15|14| 1
Ne esistono tante altre versioni:
- quadrato bimagico che è un quadrato che resta magico se si sostituiscono i suoi elementi con i i rispettivi
quadrati,
- quadrato trimagico, come prima ma con i cubi
- quadrato magico geometrico, dove i prodotti delle righe (non le somme), delle traverse e delle diagonali
sono uguali
- quadrati magici costituiti da lettere (il celebre SATOR rinvenuto negli scavi di Pompei del 79 d.c.)
- quadrato di 7, contenente i 49 iniziali numeri primi
- quadrati magici in base non decimale
Interessante è la trattazione su essi fatta da Jean-Pierre Alem nel suo "Giochi di ingegno e divertimenti matematici".
Sui quadrati magici se non si dispone di un metodo matematico, si possono perdere mesi prima di trovare la soluzione. Interessante è ovviamente il metodo per costruirli. Narayana, nel suo Ganida-Kamudi, illustrò un metodo di costruzione per i quadrati di lato 4n, 4n+-1, 4n+2. I 4n erano basati sulla mossa del cavallo degli scacchi. Per i primi due gruppi mostrò un criterio di costruzione per sovrapposizione di due quadrati (secoli dopo ripreso da La Hire).
Per i giochi matematici in generale vi consiglio anche Martin Gartner con il suo "Esperienza A-aH!" con cenni al "pensiero laterale", Edouard Lucas con "Il gioco militare" e "Il labirinto". Non sono da meno, per gli appassionati: Yakov Perelman con "Algebra ricreativa" tutto dedicato alla Teoria dei Numeri ed Hernry Dudeney col suo "L'enigma del mandarino".
Edouard Lucas nei suoi libri espone giochi famosi della sua epoca ma anche sue invenzioni: "La presa della bastiglia", la Torre di Hanoi, il gioco Paradoxal, il problema delle otto regine, problemi di Dama, gioco del Domino, problemi di giochi militari, problemi sui labirinti, problemi di teoria dei numeri etc.
Lucas ovviamente è famosissimo per i suoi enormi contributi alla Teoria dei Numeri (procedimento della sequenza di Lucas e vari Teoremi).
Il TRIS
Chi non ha mai giocato a TRIS? Si tratta di un quadrato 3x3 dove a turno ogni giocatore mette una 'x' oppure un cerchietto 'o' ad occupare le caselle.In esso vince chi riesce a mettere insieme tre simboli di fila in diagonale o lungo una traversa verticale o orizzontale. OK, il TRIS non ha niente di magico, ma capiremo con il gioco del quindici perchè l'ho introdotto.
La strategia da adottare nel TRIS è semplice. Si occupa quella casella che offre più potenziali tris successivi. Ad esempio se si occupa il centro ci sono 4 potenziali tris, se si occupa un angolo si hanno 3 potenziali tris.
Le risposte devono seguire lo stesso criterio. Se giocato in questo modo si giunge sempre alla patta, cioè il TRIS è un gioco a "somma zero" (Teoria dei giochi).
Un esempio di giocata è il seguente:
| | |
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
|X | |
| |O |O
| |X |
|X | |
|X |O |O
| |X |
|X | |
Ha vinto il giocatore delle X. Se invece
| | |
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
| | |
| | |O
| |X |
|X | |
|O | |O
| |X |
|X | |
|O |X |O
| |X |
|X | |
|O |X |O
| |X |
|X |O |
|O |X |O
| |X |O
|X |O |
|O |X |O
| |X |O
|X |O |X
Patta.
Il gioco del quindici
Supponiamo di avere una fila di 9 caselle in successione: due giocatori a turno devono mettere un numero in una posizione qualsiasi.Vince chi fa somma 15 per prima. Che strategia si adotta? Se non lo si sa si è notevolmente svantaggiati.
Lucas dimostrò che il gioco del 15 equivale ad un quadrato magico 3x3 con somma 15, da tenere a memoria:
|4 |9 |2
|3 |5 |7
|8 |1 |6
E la strategia di gioco da attuare? Quella del TRIS! La probabilità di vittoria è buona, se l'avversario ignora di dover giocare a TRIS su un quadrato magico, ma si arriva alla patta in caso contrario.
Alla prox
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