Due buone idee per un "regalo non impegnativo" ad un matematico ...

Se siete appassionati di giochi matematici tridimensionali, vi consiglio di leggere questa pagina di Wikipedia: è fatta apposta per voi per introdurvi a tale "dimensione": http://it.wikipedia.org/wiki/Utente:DBC/Twisty_puzzle

I twisty puzzle sono poliedri magici o puzzle matematici: ne esistono un sacco. Alcuni noti come il cubo di Rubik, il Sudoku-cube e altri meno noti, ma bellissimi. Hanno un fondamento matematico, ma a che servono?

Se ci pensate Platone iniziò con i solidi platonici per filosofia, poi sono serviti come diletto (esistono i campionati del mondo del cubo di Rubik ad esempio), alcuni sono serviti come modellini per tecniche di imballaggio o come infrastrutture, alcuni sono nati dal mondo dell'arte.

Oppure provate a leggere un vecchio libro italiano del 1913 di Italo Ghersi, ormai alla quinta edizione "Matematica dilettevole e curiosa".

Tratta di tutto: Problemi bizzarri - Paradossi algebrici e meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve e loro tracciamento meccanico - Sistemi articolati - Quadratura del circolo - Trisezione dell'angolo - Duplicazione del cubo - Geometria della riga e del compasso - Rompicapo geometrici - Iperspazio - Probabilità - Giochi - Quadrati - Poligoni e poliedri magici.

Due buone idee per un regalo ...

Per chi è interessato anche all'esistenza di ipercubi magici, ebbene esistono.

Un ipercubo magico perfetto è stato costruito da J. Hendricks, nel 1999. E’ di ordine 16 e la somma costante è 524296.

Un articolo sulla storia e l'attualità delle figure geometriche magiche per diletto lo troverete a http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/Articoli/AvventuraCubi/AvventuraCubi.htm

Un settore nuovo, che rappresenta un nuovo filone di lavoro, è quello di ideare nuovi imballaggi ecologici e a basso costo, con tutto quello che usiamo per vivere ogni giorno, per ridurre alla fonte (la fonte di produzione dei beni) la quantità di rifiuti non riciclabili o comunque non costituenti l'umido. Gli imballaggi ecologici dovrebbero avere i seguenti requisiti minimi:

• essere fatti con materiale riciclabile
• non essere costituiti da differenti materiali da differenziare in modo diverso perchè potrebbero causare dubbi o errori sul dove buttarli (indifferenziata, plastica-cartone, ...). Ad esempio lo sapevate che le posate di plastica, i bicchieri e i piatti non vanno nella plastica ma nell'indifferenziata? La carta o il catone sporco di salsa non può essere messo nella carta o cartone? Lo scontrino è carta particolare e non si può riciclare nella carta
• essere di basso costo
• essere tali da poterli ridurre facilmente di volume dopo l'acquisto
• essere igienici e non nocivi
• essere tali da rendere minimo lo spazio di intramezzo non utilizzato nel caso di accumulo in un deposito

 In pratica vanno riprogettati su tutti i prodotti oggi noti ...


Alla prox

Natale e la stella cometa

L'atmosfera natalizia ad un matematico fa venire in mente almeno due cose:

• i comet diagram, come quelli della congettura di Goldbach, di Riemann etc
• le stelle magiche

Una stella magica è un poligono stellato a n punte, con n maggiore di 5, avente come simbolo di Shläfli {n/2} con gli n vertici e le n intersezioni degli n lati munite di 2n interi tale che le somme dei 4 numeri su ciascun lato coincidano. Il valore di queste somme si dice costante magica o somma magica della stella.

Si dice inoltre stella magica normale una tale configurazione che sia munita degli interi consecutivi da
1 a 2n.

La somma magica delle stelle magiche ad n punte è Mn = 1/n[2*2n(2n+1)/2]=4n+2. Quindi sono legate ai numeri triangolari 2n(2n+1)/2.

Si dimostra che non esistono poligoni stellati con meno di 5 punte. Le stelle magiche più ridotte hanno 6 punte.

In figura alcuni esempi: esagramma magico (somma 24), ettagramma magico (somma 30), ottogramma magico (somma 34) etc.

 

 
 

Stelle mod n

Un'altra categoria interessante sono le stelle mod n. Ad esempio una stella a 6 punte con la distribuzione circolare dei numeri interi da 1 mod 6 a n mod 6 individua i numeri primi incolonnati però nelle punte della stella secondo il resto della divisione x/i mod 6.  In pratica si ottiene la spirale di Ulam, se si usa mod 6.

Un articolo sulla spirale di Ulam a tal proposito è su http://eprints.bice.rm.cnr.it/513/1/ULAMSEGR.pdf

  

Tutti gli articoli dell'autore si trovano su:
http://www.gruppoeratostene.com/articoli/articoli.htm
http://www.rudimathematici.com/blocknotes.htm 
http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2010/12/19/colpo-grosso-alla-regence/
http://www.scribd.com/rosario_turco

Metodi di generazione dei numeri di Smith

S è un numero di Smith se considerando con T la somma dei digit di S, con F la somma della lista dei fattori di S, allora F è uguale a T.

Esempio 729
T=18
S=3^6=3*3*3*3*3*3
F=3+3+3+3+3+3=18
F=T
S è un numero di Smith.

Nella base 10, i primi numeri di Smith sono

4, 22, 27, 58, 85,   94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378,   382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, ... (Sequenza A006753 dell'OEIS)

Metodi per generare i numeri di Smith
1.mo metodo

Se p è un primo Repunit allora posso generare numero di Smith con la moltiplicazione S=k*p dove k può assumere ad esempio uno dei seguenti valori: 1.540, 1.720, 2.170, 2.440, 3.304, 5.590, 6.040,
7.930, 8.344, 8.470, 8.920, 23.590, 24.490, 25.228, 29.080, 31.528, 31.780, 33.544, 34.390, 35.380.

Alcuni esempi:

R(2)=11
S=3304*R(2)=36344
T=3+6+3+4+4=2+0=2
L=2^3*7*11*59
F=2+2+2+7+11+59=24+59=8+3=1+1=2
-->Si Notare che il repunit primo appare anche nella scomposizione

R(3)=111
S=3304*R(3)=366744
T=3+6+6+7+4+4=30=3
S=2^3*3*7*37*59
F=2+2+2+3+7+37+59=16+37+59=112=1+1+2=4
-->No

R(19)
S=3671111111111111110744
T=3+6+7+15+15=16+15+15=46=4+6=1
S=2^3*7*59*1111111111111111111
F=2+2+2+7+59+19=13+59+19=91=9+1=1
-->Si Notare che il repunit primo appare anche nella scomposizione

I numeri di Smith di questa formas sono, quindi, legati ai numeri Repunit primi.

2.do metodo
Nel 1984, Pat Costello generò numeri di Smith con la formula P*Q*10^M dove P è un piccolo primo e Q è un numero primo di Mersenne noto.  Come si deve scegliere M nella formula P*Q*10^M?

Un metodo è il seguente:
 a) Si sceglie il numero primo di Mersenne e si calcola la somma dei suoi digit
 b) Si un numero primo piccolo P e si fanno i seguenti passi:
    b1) si calcola ps = somma dei digit di Q + la somma dei digit di P;
    b2) si calcola il prodotto P*Q;
    b3) si calcola ds = somama dei digit di P*Q;
          se ds<ps, si torna a b) e si sceglie un nuovo P;
          se ds=ps, allora P*Q è un numero di Smith;
          se ds>ps, allora si calcola  (ds-ps) mod 7;
                    se (ds-ps) mod 7 = 0 allora M = (ds-ps)/7 e P*Q*10^M è un numero di Smith
                    altrimenti si torna a b) e si sceglie un nuovo P.
 Esempio:
      Scegliamo Q = 2^17-1 = 131071 scegliamo  P = 5011.
      ps = 20.
      P*Q = 656796781.
      ds = 55.
      ds-ps = 35 divisibile per 7. M=35/7=5.
      P*Q*10^5 = 65679678100000 è un numero di Smith secondo la definizione iniziale
 
Costello individuò 65 numeri di Smith in questo modo, incluso uno da record:
191*(2^216091-1)*10^266 con 65319 digit.

3.zo metodo 
Nel 1987, Wayne McDaniel generalizzò il concetto di numeri di Smith e introdusse i k-Smith numbers e provò che sono infiniti. Con k=1 ci si riduce ai numeri di Smith, allora anche i numeri di Smith sono infiniti.

McDaniel  generò i numeri di Smith della forma t*9Rn*10^M dove t è nell'insieme {2, 3, 4, 5, 7, 8, 15}, con Rn repunit primo.

4.to metodo
Dovuto a Yates.Di forma 9Rn*QS*10^M  con Rn repunit primo e Q un primo palindromo di forma
10^2K +A*10K + 1. 

Si suppone che esistono molte altre forme generatrici di numeri di Smith. 

Tuttavia è bene sottolineare che alcuni numeri possono avere più proprietà, ad esmpio è possibile trovare un numero di Fibonacci Smith e così via. Esistono i numeri di Smith palindromi, fratelli etc (http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Smith)

L'utilità dei numeri di Smith? Si può cercare di appoggiarsi ad essi per semplificare la primalità di un altro tipo di numero. Ad esempio abbiamo visto che i numeri di Smith sono composti, ma legati ai Mersenne primi o a Repunit primi. Questo vuol dire che se si crea un algoritmo con cui generare un numero di Smith di una certa forma, allora si potrebbe risalire ad un Mersenne primo o a un Repunit primo.

P.S: Se usate la forma S=K*p vi renderete conto che avrete bisogno della fattorizzazione di S, che è lenta; oppure di sapere dato un p se esso è un fattore primo di S senza fattorizzare S (problema oggi non risolto).

Alla prox

Articoli informatici

Oltre che interessarmi per hobby di Matematica e Fisica, il mio lavoro professionale è svolto nell'ambito progettazione di sistemi software (HW, prodotti, Architetture, progettazione SW) e spesso mi diletto anche a scrivere articoli di progettazione UML, Object Oriented, Framework, processi produttivi software (RUP, XP) e i principi di base: riusabilità, refactoring, etc.

Per chi fosse interessato a seguire tali articoli sono disponibili su SCRIBD
(http://www.scribd.com/rosario_turco).

Ve ne segnalo solo alcuni:

Principi di base
http://www.scribd.com/doc/45083638/oobase

http://www.scribd.com/doc/45083753/Principi
http://www.scribd.com/doc/45083533/Re-Factoring
http://www.scribd.com/doc/45083503/riuso

http://www.scribd.com/doc/45083402/Usa-Bi-Lit-A 


Progettazione UML
http://www.scribd.com/doc/45083368/colori 
http://www.scribd.com/doc/45083901/Business

http://www.scribd.com/doc/45083612/esempiuml

Design Pattern
http://www.scribd.com/doc/45083152/OO-Design-Pattern-e-Book

Processi produttivi
http://www.scribd.com/doc/45083287/Extreme
http://www.scribd.com/doc/45083473/Rup

Framework
http://www.scribd.com/doc/45083575/Framework

Alla prox