I numeri primi e i numeri Gaussiani primi

Una delle cose che, forse, non tutti sanno è che risulta possibile estendere nel piano di Argand, noto anche come piano di Gauss, il concetto di numero primo ed è possibile farlo  per diverse altre proprietà dei numeri. Passare da una dimensione a due dimensioni dei numeri complessi è inizialmente un gioco che porta a molte riflessioni e alla nascita di tecniche nuove.

I numeri nel piano complesso sono definiti numeri di Gauss interi oppure numeri di Gauss primi. Nel mondo dei numeri interi, compreso i negativi, sappiamo trattare facilmente i numeri primi e la fattorizzazione.

Alcuni elementi semplici del mondo degli interi ad "una dimensione" sono ad esempio:
1) Un numero è primo se divisibile per 1 e sè stesso.
2) i numeri primi appartengono sia alla forma 4n+1 che 4n+3
3) la scomposizione di un numero è univoca

Se passiamo un attimo al mondo dei numeri complessi, vediamo che si perdono alcune delle tre proprietà di sopra. Prendiamo un numero primo, ad esempio il 2. Il 2 è fattorizzabile, nel piano di Gauss; quindi, non è primo; difatti (1+i)(1-i)=2. Mentre numeri di Gauss primi sono ovviamente 1-i e 1+i. Eppure il 2 nel mondo degli interi era primo. Stessa cosa accade al 5 il 13 e il 17. Chi mi sa trovare altri? E' facile.

La 2) è vera solo per i numeri di forma 4n+3. I numeri 4n+1 non sono numeri di Gauss primi.

La divisione per 4 è, quindi, un utile tool di verifica se il numero può essere un numero di Gauss primo. Quelli di forma 4n+1 sono numeri di Gauss interi perchè possono essere splittati, fattorizzati o scomposti in numeri di Gauss primi.

Non solo, ma i numeri interi (non quelli di Gauss) splittabili hanno la proprietà (dovuta a Pitagora) di essere
esprimibili come somma di quadrati di due interi. Ad esempio 5 = 1 + 4, 13 = 4 + 9, etc.

I numeri immaginari escono fuori anche dalle soluzioni delle equazioni quadratiche, cubiche etc. avendo ammesso che i^2 = -1, cosa che non piaceva a Kronecker, il quale affermava: "Dio ha creato i numeri naturali, l'uomo ha fatto il resto".

D'altra parte i numeri immaginari iniziano possono far capolino anche nell'Ultimo Teorema di Fermat che sostiene correttamente (dimostrazione di Andrew Wiles) che il cubo di un intero qualsiasi non è mai somma di due cubi interi.

Se aggiungiamo i numeri razionali compresi dai numeri complessi è evidente che si perde anche la proprietà 3). Ad esempio prendiamo 6: Nel mondo degli interi -6=-2*3. Nel mondo dei numeri di Gauss possiamo avere che:
-6=(1 + sqrt(-5))(-1+sqrt(-5))
e inoltre è anche 
- 6 = -2*3

Adesso la fattorizzazione non è unica, anzi un numero potrebbe essere splittato in vari modi.

In seguito a questo Eduard Kummer introdusse la "teoria dei numeri ideali", per giustificare situazioni come questa e per sostenere settori della Fisica, come la teoria quantistica. Per la verità furono introdotti inizialmente per attaccare l'Ultimo Teorema di Fermat facendo nascere quella che fu detta la teoria dei
numeri algebrica.

I settori di sopra attualmente sono meno "presidiati" e offrono ancora tante altre opportunità. Penso, ad esempio, che esistono molte proprietà della teoria dei numeri (proprietà dei vari tipi di numeri) da verificare anche tra i numeri Gaussiani e gli ideali ...

Grossi e ulteriori sostenitori di questi settori della matematica furono Dedekind (allievo di Gauss), Dirichlet e
Riemann (allievo di Dirichlet).

Parafrasando Einstein, mi piace concludere questa semplice panoramica, osservando che spesso "I problemi hanno soluzioni il cui livello di pensiero è totalmente diverso da quello che ha fatto nascere il problema", ma
aggiungo che esistono anche molte soluzioni alla ricerca del problema giusto.

Alla prox