In matematica non tutto è già noto

I criteri di divisibilità sono un tema della Teoria dei numeri, simpatico e utile e ovviamente sono dimostrabili le regole che nascono della divisibilità per 3, per 9 etc.

Non crediate che si è messo il punto fine a questa tematica semplice ma interessante.

Grandi cultori di queste tematiche furono: Leonerdo Fibonacci (Pisa: 1170-1250), Blaise Pascal (Francia: 1623-1662), Henri Poincarè (Francia: 1854-1912) solo per citarne alcuni tra i più noti. Anche molti altri
italiani hanno concorso a queste tematiche.

Vediamo nel seguito solo alcuni esempi di divisibilità.

Divisibilità per 7
Una regola è di isolare l'ultima cifra del numero assegnato, raddoppiarla e sottrarla al numero rimanente di partenza.

Se il risultato è 0 o multiplo di 7 il numero è divisivile per 7. Se il numero è grande reiterare il procedimento.

Esempio
105 -> 10_5 -> 5x2=10 10-10=0 quindi 105 è divisibile per 7

394 -> 39_4 -> 4x2=8  39-8=31 non è divisibile per 7

12578 -> 1257_8 -> 8x2=16 1257-16=1241 124_1 -> 1x2=2 124-2=122 12_2 -> 2x2=4 12-4=8 8 non è divisibile per 7.

Divisibilità per 13
E' divisibile per 13 se isolando l'ultima cifra e considerando il quadruplo di essa, sommando il risultato parziale ottenuto con la cifra rimasta di partenza, il risultato finale è divisibile per 13.

Esempio
169 -> 16_9 9x4=36 16+36=52 che è divisibile per 13
943 -> 94_3 3x4=12 94+12=106 -> 10_6 6x4=24 10+24=34 non è divisibile per 13

Divisibilità per 11 per numeri a n>2 cifre
E' divisibile per 11 se isolando le ultime 2 cifre, e si sommano al numero rimanente precedente, il risultato è divisibile per 11.

Esempio
352  -> 3_52 3+52=55 divisibile per 11
1052 -> 10_52 10+52=62 non è divisibile per 11.


Metodo classico divisibilità per 11
Se alla somma delle cifre di posto dispari si sottrae la somma delle cifre di posto pari e il risultato è 0 o multiplo di 11 esiste la divisibilità per 11.

Esempio precedente
352 3+2=5 5-5=0 divisibilità per 11

Esempio a molte cifre
87635064 -> 8+6+5+6=25 7+3+0+4=14 25-14=11 divisibile per 11

Dimostrazione di divisibilità
Ok, ma se dovreste dimostrarli che sono metodi corretti? Si usano le manipolazioni di prestigio algebriche!

Facciamo un esempio con 11.

Chiamiamo con a la cifra dell'unità, b quella delle decine, c le centinaia etc.

N=a+10b+100c+1000d+...= a+10(b+10c+100d+...)

Se da N ci sottraiamo 11(b+10c+100d+...) che è multiplo di 11, che succede?

a+10(b+10c+100d+...)-11(b+10c+100d+...)=a-b-10(c+10d+...)

Questo risultato sarebbe lo stesso resto di quello che si ottiene dividendo N per 11.

Se a tale risultato ci sommiamo invece 11(c+10d+...) multiplo di 11 otteniamo adesso:

a-b-10(c+10d+...)+11(c+10d+...)=a-b+c+10(d+...)

Se proseguiamo a sottrarre 11(d+...) si ottiene:

a-b+c-d+...

cioè la regola di sopra di sommare le cifre di posto dispari tra loro e quelle pari tra loro, per poi sottrarre come dice la regola precedente.

Si può dimostrare anche l'altro metodo di divisibilità per 11 basato sull'isolamento di 2 cifre (almeno decine e centinaia se sono 3 cifre). In tal caso N va scritto nel seguente modo:

N = a + 100b + 10000c+...=a+100(b+100c+...)

Ora sottriamo allora a N 99(b+100c+...) che è multiplo di 11

a + 100b + 10000c+...=a+100(b+100c+...) - 99(b+100c+...)= a + b + 100(c+...)

a questo possiamo sottrarre 99(c+...) divisibile per 11 e si ottiene

a + b + c + ...

Cioè si ottiene la regola N è divisibile per 11 se isolando le ultime 2 cifre, e si sommano al numero rimanente precedente, il risultato è divisibile per 11.

Divisibilità per 19
Un numero è divisibile per 19 se le sue decine più il doppio delle sue unità danno un multiplo di 19.

N=10x+y
Abbiamo scritto y come unità e x è di peso 10 come decina.

Se la regola è vera devo scrivere che N' = x+2y e deve essere multiplo di 19.

A questo punto se facciamo
10N' - N = 10(x+2y) - (10x + y) = 19y

Quindi se N' è multiplo di 19 allora:
N = 10N' - 19y
N si divide esattamente per 19.

Esempio
38 -> 3+2x8=19 divisibile per 19

Alla prox