Le congetture e gli attacchi diretti e indiretti

Nella Teoria dei Numeri esistono varie congetture non ancora dimostrate, apparentemente semplici, ma di una complessità notevole se li si vuole realmente dimostrare con la matematica analitica.

Un esempio notevole è il Postulato di Bertrand, unico dimostrato (da Chebyscev), che afferma nella sua versione semplice che tra n e 2n con n>1 esiste almeno un numero primo. Una volta dimostrato nell'Ottocento, successivamente si sono avute dimostrazioni più semplici di Ramanujan e di Paul Erdos.

Per comprendere come si fa una dimostrazione di una congettura come questa basta che date un'occhiata ad esempio a:  http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_del_postulato_di_Bertrand

Ebbene congetture più restrittive e legate tra loro sono la congettura di Oppermann che afferma che tra n^2-n e n^2+n esistono almeno due numeri primi. C'è un effetto domino tra alcune congetture legate; ad esempio se si dimostrasse la congettura di Cramer, anche la congettura di Oppermann sarebbe risolta, il che implicherebbe anche la soluzione della congettura di Legendre.

Un legame esiste anche tra la congettura di Andrica e quella di Cramer. Lo stesso postulato di Bertand è un caso particolare della congettura di Legendre.  

Il postulato di Bertrand si potrebbe esprimere in una forma generalizzata come segue:

Per ogni n>1 esiste sempre un numero primo tale che kn < p < (k+1)n

Se k=1 abbiamo il postulato di Bertrand, se k=n abbiamo la congettura di Legendre.

Per k=2 il postulato di Bertrand generalizzato è stato dimostrato da Bachraoui con la stessa tecnica di Erdos, con i coefficienti binomiali. Rimane da dimostrarlo per k>2.E questa è una strada da non trascurare per la dimostrazione finale.



La congettura di Legendre è la più affascinante ed afferma che tra (n+1)^2 e n^2 esiste almeno un numero
primo.

Il problema non è "se sono vere o meno" queste congetture. Non serve che qualcuno esca fuori e lo dichiari.
Gli innumerevoli esempi e la ricerca di contro-esempi danno l'evidenza della verità su esse, come sulla
congettura di Riemann.

Il problema è proprio di trovare il giusto procedimento matematico analitico per dimostrarle vere. E' sempre accaduto che quando una congettura è stata risolta è emersa una nuova tecnica a vantaggio del progresso matematico.

Diversi lettori mi hanno fatto domande sul cosa si intende dimostrare una congettura.

Sicuramente dimostrare una congettura non è fare esempi, tabelle di numeri e calcoli con stime approssimate del Teorema dei Numeri Primi, queste sono tecniche di ricerca al massimo di contro-esempi o per stabilire una stima. Occorre, invece, partire dalla ipotesi della congettura e trovare un metodo con vari passaggi generalizzati, algebrici, geometrici,analitici o trigonometrici, in dipendenza del tipo di problema e proposizione che si sta affrontando, fino ad arrivare ad un risultato che confermi la tesi o la contraddice. Altrimenti non si è dimostrato niente, ma si è dato solo delle evidenze.

Un modo economico diverso, è quello di progettare attacchi diretti e indiretti alle congetture per cercare, graficamente o numericamente, con del software sviluppato ad hoc da noi stessi, dei contro-esempi. Se si trova un solo contro-esempio sono false, in caso contrario rimane aperta ancora la ricerca della loro dimostrazione di verità.

Gli attacchi diretti sono attacchi alla congettura nella sua forma principale. Un esempio di attacco diretto
è l'articolo "Aggirandosi tra i plot della zeta di Riemann", dove sia numericamente che graficamente con del software si verifica la posizione degli zeri della zeta di Riemann.

Un attacco indiretto è invece un attacco grafico e numerico, ad una congettura equivalente. Ad esempio per
l'ipotesi di Riemann ci sono innumerevoli congetture RH equivalenti: criterio di Robin, criterio di Lagarias,
funzione di Liouville, Frobenius etc. Nel caso di Riemann ce ne sono almeno una ventina e spesso ne nascono di nuove.


Un esempio, invece, di proposta di dimostrazione è sempre quello dell'autore sulla zeta di Riemann.

Per chi è interessato a tali tecniche, in tal caso occorre stilare la lista di tutte le congetture equivalenti, magari su Wikipedia, poi comprendere bene cosa dichiarano rigorosamente e cercare di attaccarle una dopo l'altra, per la ricerca di contro-esempi.

Questa tecnica è più pratica e richiede meno conoscenze dimostrative matematiche: basta un solo contro-esempio per dimostrarle false. Spesso la scoperta del contro-esempio porta alla correzione della congettura o al suo definitivo abbandono.

Con le tecniche di attacco  furono dimostrate false varie congetture (Mertens, etc). Grossi nomi di utilizzatori di tecniche del genere sono Alan Turing, Odlyzko etc.


Se l'attacco non dimostra la falsità con un contro-esempio, l'attacco è fallito e la congettura è ancora da
dimostrare.

Affinando queste tecniche di attacco si finisce, inevitabilmente, con lo scoprire un "comportamento nascosto" che non si conosceva. Ad esempio con la zeta di Riemann se non si fosse affrontata una cosa del genere non si conoscerebbero ora i punti di Gram ed altro etc.

Spesso la dimostrazione, invece, è corretta ma non è stata fatta con i metodi analitici come si richiede per ottenere progressi sull'argomento (ad esempio nel campo delle funzioni complesse di variabili complesse o delle funzioni ellittiche), per cui alla fine è una soluzione minore o elementare, cioè è considerata solo una evidenza; perchè potrebbero esistere implicazioni che il metodo elementare non mette in risalto.

Un articolo delle attuali conoscenze sulla congettura di Legendre è a:
www.scribd.com/rosario_turco (Collections contiene tutti gli articoli dell'autore).


Alla prox