I Simpson e le approssimazioni matematiche

Se per un attimo le calcolatrici si usano senza tener presente delle approssimazioni che introducono, si può incappare in qualcosa che sembra il contro-esempio per un Teorema famoso.

Prendiamo l' "Ultimo Teorema di Fermat" dimostrato da Wiles.

Nei cartoni de “I Simpson“, gli sceneggiatori nell'episodio “La paura fa novanta VI” ambientano Homer Simpson dal mondo bidimensionale dei cartoni animati ad uno spazio cartesiano virtuale in tre dimensioni dove si possono cogliere di sfuggita delle formule estremamente complesse come per esempio:

1782^12 + 1841^12 = 1922^12

Se questa equazione fosse vera, il Teorema di Fermat verrebbe smentito. Calcolatrice alla mano, l’equazione torna. Com’è possibile? Ok. Contate un attimo le cifre che può rappresentare la calcolatrice. Sicuramente sono dieci.

Se infatti scegliessimo una calcolatrice con un display di almeno tredici cifre ci renderemmo subito conto che
l’equazione scritta sopra non è corretta.

Gli sceneggiatori hanno avuto nel cartone l'aiuto di David Cohen, laureato in fisica ad Harvard e con un master in informatica teorica a Berkeley. Cohen  per ottenere la relazione ha scritto apposta un software per ricavare le “quasi soluzioni” del teorema di Fermat.

Gli sceneggiatori hanno ripetuto l'esperimento nell’episodio  “L’inventore di Springfield”. Qui Homer, con tanto di occhiali per assumere un apsetto da professore, scrive alla lavagna la seguente equazione:

3987^12 + 4365^12 = 4472^12

Qua quanto deve essere il display per accorgersi dell'errore?
 

Bubbole matematiche divertenti, che hanno incuriosito mezzo mondo!

Alla prox

L'equazione funzionale della zeta di Riemann

Un tema affascinante nel campo complesso è ancor oggi costituito dalla zeta di Riemann e dalle sue due ultime congetture, che resistono come ultimo baluardo della matematica dell'Ottocento.

Chiunque abbia in qualche modo affrontato lo studio di tale argomento si sarà posto almeno un paio di domande come: “da dove nasce l’equazione funzionale?” oppure “perché i numeri primi sono legati agli zeri della zeta di Riemann?”.

La difficoltà di svelare gli ultimi misteri della zeta di Riemann, per una sua dimostrazione definitiva con strumenti di matematica analitica, sono spesso legati all'impenetrabilità dell'equazione funzionale, sotto certi aspetti complicata come dimostrazione, e che da una visione a "tutto tondo" non fornendo elementi ulteriori che possano portare a contraddizioni dimostrative. 

Nel 1986 Titchmarsh col suo libro, mostrò ben sette tecniche per dimostrare l’equazione funzionale.

Un breve articolo su una semplice dimostrazione dell'equazione funzionale è al link di www.scribd.com/rosario_turco

http://www.scribd.com/doc/47783422/Equazione-funzionale-della-zeta-di-Riemann


Tale dimostrazione, una delle sette di Tichmarsh, mette in evidenza la “natura frazionaria” insita nella zeta di Riemann, il suo legame con i numeri primi e rappresenta essa stessa una ulteriore strada in cui emerge la stessa zeta.

Buona lettura
Alla prox

I numeri primi e i numeri Gaussiani primi

Una delle cose che, forse, non tutti sanno è che risulta possibile estendere nel piano di Argand, noto anche come piano di Gauss, il concetto di numero primo ed è possibile farlo  per diverse altre proprietà dei numeri. Passare da una dimensione a due dimensioni dei numeri complessi è inizialmente un gioco che porta a molte riflessioni e alla nascita di tecniche nuove.

I numeri nel piano complesso sono definiti numeri di Gauss interi oppure numeri di Gauss primi. Nel mondo dei numeri interi, compreso i negativi, sappiamo trattare facilmente i numeri primi e la fattorizzazione.

Alcuni elementi semplici del mondo degli interi ad "una dimensione" sono ad esempio:
1) Un numero è primo se divisibile per 1 e sè stesso.
2) i numeri primi appartengono sia alla forma 4n+1 che 4n+3
3) la scomposizione di un numero è univoca

Se passiamo un attimo al mondo dei numeri complessi, vediamo che si perdono alcune delle tre proprietà di sopra. Prendiamo un numero primo, ad esempio il 2. Il 2 è fattorizzabile, nel piano di Gauss; quindi, non è primo; difatti (1+i)(1-i)=2. Mentre numeri di Gauss primi sono ovviamente 1-i e 1+i. Eppure il 2 nel mondo degli interi era primo. Stessa cosa accade al 5 il 13 e il 17. Chi mi sa trovare altri? E' facile.

La 2) è vera solo per i numeri di forma 4n+3. I numeri 4n+1 non sono numeri di Gauss primi.

La divisione per 4 è, quindi, un utile tool di verifica se il numero può essere un numero di Gauss primo. Quelli di forma 4n+1 sono numeri di Gauss interi perchè possono essere splittati, fattorizzati o scomposti in numeri di Gauss primi.

Non solo, ma i numeri interi (non quelli di Gauss) splittabili hanno la proprietà (dovuta a Pitagora) di essere
esprimibili come somma di quadrati di due interi. Ad esempio 5 = 1 + 4, 13 = 4 + 9, etc.

I numeri immaginari escono fuori anche dalle soluzioni delle equazioni quadratiche, cubiche etc. avendo ammesso che i^2 = -1, cosa che non piaceva a Kronecker, il quale affermava: "Dio ha creato i numeri naturali, l'uomo ha fatto il resto".

D'altra parte i numeri immaginari iniziano possono far capolino anche nell'Ultimo Teorema di Fermat che sostiene correttamente (dimostrazione di Andrew Wiles) che il cubo di un intero qualsiasi non è mai somma di due cubi interi.

Se aggiungiamo i numeri razionali compresi dai numeri complessi è evidente che si perde anche la proprietà 3). Ad esempio prendiamo 6: Nel mondo degli interi -6=-2*3. Nel mondo dei numeri di Gauss possiamo avere che:
-6=(1 + sqrt(-5))(-1+sqrt(-5))
e inoltre è anche 
- 6 = -2*3

Adesso la fattorizzazione non è unica, anzi un numero potrebbe essere splittato in vari modi.

In seguito a questo Eduard Kummer introdusse la "teoria dei numeri ideali", per giustificare situazioni come questa e per sostenere settori della Fisica, come la teoria quantistica. Per la verità furono introdotti inizialmente per attaccare l'Ultimo Teorema di Fermat facendo nascere quella che fu detta la teoria dei
numeri algebrica.

I settori di sopra attualmente sono meno "presidiati" e offrono ancora tante altre opportunità. Penso, ad esempio, che esistono molte proprietà della teoria dei numeri (proprietà dei vari tipi di numeri) da verificare anche tra i numeri Gaussiani e gli ideali ...

Grossi e ulteriori sostenitori di questi settori della matematica furono Dedekind (allievo di Gauss), Dirichlet e
Riemann (allievo di Dirichlet).

Parafrasando Einstein, mi piace concludere questa semplice panoramica, osservando che spesso "I problemi hanno soluzioni il cui livello di pensiero è totalmente diverso da quello che ha fatto nascere il problema", ma
aggiungo che esistono anche molte soluzioni alla ricerca del problema giusto.

Alla prox

Algoritmi di Page Ranking

Come funziona un motore di ricerca per cercare le pagine più attinenti? Qual è l'attuale matematica che c'è dietro?

Il page rank è calcolato in base alla importanza della pagina. Ma come si deve definire l'importanza di una pagina?

Ci possono essere vari modi:
1) in base al numero di volte che la parola compare
2) in base al numero di link che da essa partono
3) in base al numero di link che ad essa arrivano
4) in base al numero di pagine valutate importanti che puntano alla pagina

L'idea di Brin e Page di Google è legata proprio al quarto punto di sopra, che offre maggiori risultati.

Il concetto è semplice: una pagina è importante per le pagine importanti che vi puntano e non tanto per una parola, magari presente una sola volta, e da noi ricercata. Una pagina importante, quindi, da valore ad una pagina a cui punta; per cui l'importanza di una pagina è la somma delle frazioni di importanza che le trasferiscono le pagine che ad esso puntano.

Supponiamo di numerare le pagine web da 1 a n. Avremo una matrice di connettività H (nxn), dove hij è l'elemento generico della matrice H,  di riga i e colonna j . Ora hij=1 se esiste un link dalla pagina i alla pagina j; mentre hij=0 se non esiste il link e se i=j hii=0 perchè una pagina non punta a sè stessa. Supponiamo n=4, ovvero 4 pagine web.

Una matrice H potrebbe ad esempio avere:
h11=0    h12=1    h13=1    h14=1
h21=1    h22=0    h23=0    h24=1
h31=0    h32=0    h33=0    h34=1
h41=0    h42=1    h43=1    h44=0

Se sommiamo gli 1 su una riga otteniamo ri, cioè il numero di link (che è un dato noto). Chiamiamo con xj l'importanza della pagina; per cui è:

xj = h1j * x1/r1 + h2j * x2/r2 + ... + hnj * xn/rn  per j=1..n   (1)

La (1) è un sistema di equazioni lineare in n incognite xi che rappresentano l'importanza delle pagine. Google usa una equazione leggermente differente:

xj = d(h1j * x1/r1 + h2j * x2/r2 + ... + hnj * xn/rn) * 1/n * (1-d)  per j=1..n   (2)

dove d è un parametro nell'intervallo (0,1); di solito si usa d=0,85. Ora un metodo di soluzione come quello di eliminazione di Gauss ha una complessità O(n^3). Se n è molto grande, la soluzione del sistema di equazioni potrebbe richiedere miliardi di anni.

Come allora avviene, visto che i motori di ricerca lo fanno? Sono stati implementati algoritmi veloci e se ne stanno cercando ancora ulteriori.

Si usa un metodo iterativo di convergenza:
1) Si fissano inizialmente dei valori qualsiasi agli xi di destra per ottenere xj di sinistra nella (2),
2) Si ripete il passo 1 stavolta col valore xj trovato mettendolo a destra della (2) e, per successive approssimazioni (ripetendo i passi 1 e 2), si converge alla soluzione finale  xi(1), xi(2), ..., xi(k) -> xj

Questa è una tecnica usata anche per lo studio dei campi elettrici, magnetici etc.

L'errore che si commette e(k) = max|xi(k) - xi| ed è tale che: e(k) <= lambda(k)   0 < lambda < 1
Purtroppo più grande è d nella (2) più lambda è grande e più lenta è la convergenza. La (2) ha anche una sua giustificazione probabilistica; xj rappresenta la probabilità che una pagina venga visitata ritenendo equiprobabili i link che una persona sceglie sulla  pagina: d è la probabilità che la persona scelga un link offerto dalla pagina e 1-d se ne sceglie un altro.

Dietro a tutto questo c' è la teoria delle catene di Markov e delle matrici non negative che forniscono
l'esistenza e l'unicità della soluzione xj.

Oggi allo studio ci sono molti altri problemi importantissimi:
- trovare metodi più veloci affinchè le successioni convergano più velocemente

•   successioni di Krylov
•   metodi del gradiente o delle differenze finite
•   etc

- studiare modelli più complessi dove non c'è l'equiprobabilità
- studiare i valori migliori assumibili da lambda

Alla prox

Fisica alla ricerca di una Matematica applicata

Spesso leggendo o studiando problemi di Fisica moderna, come la teoria delle stringhe o altre nuove, ci si rende conto che la matematica che dovrebbe creare l'impalcatura teorica a sostegno o a demolizione spesso è vecchia o molto complessa.

In altri termini il nostro progresso teorico e tecnologico è fortemente legato al progresso della matematica o alle ricerche che si fanno in suo ambito. Spesso la teoria matematica è molto complessa e ci si chiede se la Natura, che ama le semplificazioni, possa realmente seguire ragionamenti complessi oppure si è spinti a voler comprendere quali sono i suoi "pregiudizi" che gli permettono di fare percorsi semplificati in una teoria tanto complessa.

Prendiamo l'esempio della teoria delle stringhe e delle simmetrie.

La teoria matematica di queste cose, nei suoi mattoncini elementari, sono partite nel 1801 con Jean-Robert Argand, che formalizzò il concetto di piano di Argand e dei numeri complessi a+ib.

Con essi fu evidente che si ottenevano rotazioni di 90° nel piano o in 2D e che l'operazione moltiplicazione fosse commutativa; difatti se i^2=-1 era:

1 * i^0 = 1
1 * i   = i
i * i   = -1
i^2 * i = -i
i^3 * i = 1

Nel 1843 a William Rowan Hamilton venne l'idea di simmetrie in 3D ponendo:

 i^2 = j^2 = k^2 = i * j * k = -1

Nacquero i numeri quaternioni a+ib+cj+dk, con cui però si perdeva la proprietà commutativa della moltiplicazione.

D'altra parte questa fatto in termini di simmetria è giustificato; difatti se si fa una rotazione in un piano di un
pentagono e una riflessione nella terza dimensione il risultato è diverso dal fare prima una riflessione nel piano e poi una rotazione nella terza dimensione.

Con Arthur Caley nel 1845 si arrivò agli ottetti o ottenioni indicati con 7 lettere e1..e7 e qui si perde anche la
proprietà associativa.

Sempre nell'Ottocento abbiamo i sedenioni a 16 unità. Con queste teoria si arriva a comprende varie proprietà della Teoria delle stringhe e anche altro; soprattutto si inizia a comprendere un mondo a N-dimensioni.

La Fisica del 21esimo secolo è ancora basata su Matematica dell'Ottocento e di inizio Novecento.

Avete mai provato a studiarla, per trarne qualche idea in fisica? Diversi articoli di fisica basati su essi sono presenti sia su Rudi Mathematici che sull Gruppo Eratostene.

Alla prox.