Geometria integrale

Un settore molto interessante e moderno è la Geometria integrale. E' nata alla fine del XX secolo e cerca di mettere insieme la geometria e le probabilità geometriche.

E' un settore matematico di notevole interesse in campo biologico e medico. Su esso si basano le innovazioni
e le nuove ricerche da cui sono nate la tomografia assiale computerizzata (TAC), la risonanza magnetica (RM), la recentissima stereologia che è un insieme di metodi per esplorare lo spazio tridimensionale a partire dalla conoscenza di sezioni bidimensionali o proiezioni sui piani.

La stereologia permette ad esempio di sapere il volume di un oggetto, il numero di particelle o la curvatura totale di una superfice. Molti sono i settori a cui già è legata come statistica, geometria, geometria non euclidea, medicina, geologia, geometria computazionale per le simulazioni 2D e 3D; molti altri potrebbero essere legati o  potrebbero sfruttarla (frattali, simulazioni n-D etc).

Nel 1979 ad esempio il Nobel per la Medicina fu assegnato all'inglese Godfrey Hounsfield per i suoi studi sulla TAC, basati sulla geometria integrale.

Grazie al computer oggi sono risorte alcune materie dimenticate come la geometria discreta e combinatoria, adatta al computer data la sua natura discreta, a cui poi si aggiungono le più moderne geometria vettoriale, tensoriale e matriciale.

Tale tipo di geometria è di notevole importanza anche nel CAD (Computer Aided Design) per il disegno e la progettazione (ingegneria, architetura etc) o per l'intelligenza artificiale e la robotica per mettere a punto sistemi di visione robotici o per la meteorologia, immagini satellitari etc.

La geometria integrale è nata ufficialmente nel Novecento con lo spagnolo Luis Santalò (1911-2001), con la sua opera "Geometria integrale e probabilità geometrica". Tuttavia le primissime origini risalgono al Settecento con Georges Louis Leclerc, conte di Buffon.

Leclerc scrisse il "Supplemento alla Storia Naturale" al cui interno c'era il  "Saggio di aritmetica morale", un suo tentativo di studiare la realtà umana attraverso la matematica.

Se ci pensate non è molto diverso da quello che accade oggi, ricordate ad esempio le puntate della serie televisiva Numbers?

L'attore, che rappresentava un matematico, in diverse puntate cerca di matematizzare le emozioni ed i comportamenti umani, tenendo conto di statistica etc. Nè più nè meno di quello che iniziò a fare Leclerc.

La geometria integrale nasce già nel saggio di Leclerc con uno dei problemi che propone (oggi risolto) e definito "L'ago di Buffon".

"L'ago di Buffon" pone il seguente quesito:"Supponiamo un piano diviso in rette orizzontali (un foglio su cui ci sono tracciate rette parallele) e separate tra loro a distanza costante d, se lanciamo su esso un ago di lunghezza b, con b maggiore di 0 ma minore di d, che probabilità c'è che l'ago intercetti una retta?"

L'esperimento va ripetuto con un certo numero di lanci dell'ago, proprio come se fosse un dado o una moneta. Ad ogni lancio l'ago potrebbe tagliare una retta o nessuna. La cosa straordinaria è che tali probabilità sono legate a pi greco!

Se P è la probabilità intesa come rapporto tra numero di volte che l'ago interseca una retta v e numero di lanci n, si ha che:

P=v/n e  se b è minore o uguale a d si ottiene P=v/n=2b/(d * pi greco)

Leclerc quindi dimostrò con un lungo procedimento e correttamente che pi greco = 2nb/vd

Facendo un numero notevole di lanci si riesce ad approssimare pi greco con un bel numero di cifre dopo la virgola. Lazzaroni lanciò l'ago per 34.080 volte ottenendo pi greco = 3.1415929

"L'ago di Buffon" suggerisce la possibilità di misurare oggetti geometrici come lunghezze, aree, volumi soprattutto laddove non si hanno molte informazioni certe e facendo uso della probabilità. Permette quindi anche di formalizzare concetti come la misura di rette,piani etc.

Qua aggiungerei che la cosa non dipende nemmeno dal tipo di geometria che usiamo, potrebbe benissimo essere una geometria non euclidea come quella di Riemann ovvero una geometria sferica e quindi di interesse per la Fisica e molte altri settori scientifici. Ma esistono anche la geometria ellittica e iperbolica.
Ovviamente può essere interessante per le problematiche di fisica a n-dimensioni.

Come si vede la geometria integrale, valorizza la geometria alla pari dell'aritmetica su problematiche di probabilità, di combinazioni, permutazioni etc. ed ha un vantaggio "visivo" ulteriore.

Alla prox

In matematica non tutto è già noto

I criteri di divisibilità sono un tema della Teoria dei numeri, simpatico e utile e ovviamente sono dimostrabili le regole che nascono della divisibilità per 3, per 9 etc.

Non crediate che si è messo il punto fine a questa tematica semplice ma interessante.

Grandi cultori di queste tematiche furono: Leonerdo Fibonacci (Pisa: 1170-1250), Blaise Pascal (Francia: 1623-1662), Henri Poincarè (Francia: 1854-1912) solo per citarne alcuni tra i più noti. Anche molti altri
italiani hanno concorso a queste tematiche.

Vediamo nel seguito solo alcuni esempi di divisibilità.

Divisibilità per 7
Una regola è di isolare l'ultima cifra del numero assegnato, raddoppiarla e sottrarla al numero rimanente di partenza.

Se il risultato è 0 o multiplo di 7 il numero è divisivile per 7. Se il numero è grande reiterare il procedimento.

Esempio
105 -> 10_5 -> 5x2=10 10-10=0 quindi 105 è divisibile per 7

394 -> 39_4 -> 4x2=8  39-8=31 non è divisibile per 7

12578 -> 1257_8 -> 8x2=16 1257-16=1241 124_1 -> 1x2=2 124-2=122 12_2 -> 2x2=4 12-4=8 8 non è divisibile per 7.

Divisibilità per 13
E' divisibile per 13 se isolando l'ultima cifra e considerando il quadruplo di essa, sommando il risultato parziale ottenuto con la cifra rimasta di partenza, il risultato finale è divisibile per 13.

Esempio
169 -> 16_9 9x4=36 16+36=52 che è divisibile per 13
943 -> 94_3 3x4=12 94+12=106 -> 10_6 6x4=24 10+24=34 non è divisibile per 13

Divisibilità per 11 per numeri a n>2 cifre
E' divisibile per 11 se isolando le ultime 2 cifre, e si sommano al numero rimanente precedente, il risultato è divisibile per 11.

Esempio
352  -> 3_52 3+52=55 divisibile per 11
1052 -> 10_52 10+52=62 non è divisibile per 11.


Metodo classico divisibilità per 11
Se alla somma delle cifre di posto dispari si sottrae la somma delle cifre di posto pari e il risultato è 0 o multiplo di 11 esiste la divisibilità per 11.

Esempio precedente
352 3+2=5 5-5=0 divisibilità per 11

Esempio a molte cifre
87635064 -> 8+6+5+6=25 7+3+0+4=14 25-14=11 divisibile per 11

Dimostrazione di divisibilità
Ok, ma se dovreste dimostrarli che sono metodi corretti? Si usano le manipolazioni di prestigio algebriche!

Facciamo un esempio con 11.

Chiamiamo con a la cifra dell'unità, b quella delle decine, c le centinaia etc.

N=a+10b+100c+1000d+...= a+10(b+10c+100d+...)

Se da N ci sottraiamo 11(b+10c+100d+...) che è multiplo di 11, che succede?

a+10(b+10c+100d+...)-11(b+10c+100d+...)=a-b-10(c+10d+...)

Questo risultato sarebbe lo stesso resto di quello che si ottiene dividendo N per 11.

Se a tale risultato ci sommiamo invece 11(c+10d+...) multiplo di 11 otteniamo adesso:

a-b-10(c+10d+...)+11(c+10d+...)=a-b+c+10(d+...)

Se proseguiamo a sottrarre 11(d+...) si ottiene:

a-b+c-d+...

cioè la regola di sopra di sommare le cifre di posto dispari tra loro e quelle pari tra loro, per poi sottrarre come dice la regola precedente.

Si può dimostrare anche l'altro metodo di divisibilità per 11 basato sull'isolamento di 2 cifre (almeno decine e centinaia se sono 3 cifre). In tal caso N va scritto nel seguente modo:

N = a + 100b + 10000c+...=a+100(b+100c+...)

Ora sottriamo allora a N 99(b+100c+...) che è multiplo di 11

a + 100b + 10000c+...=a+100(b+100c+...) - 99(b+100c+...)= a + b + 100(c+...)

a questo possiamo sottrarre 99(c+...) divisibile per 11 e si ottiene

a + b + c + ...

Cioè si ottiene la regola N è divisibile per 11 se isolando le ultime 2 cifre, e si sommano al numero rimanente precedente, il risultato è divisibile per 11.

Divisibilità per 19
Un numero è divisibile per 19 se le sue decine più il doppio delle sue unità danno un multiplo di 19.

N=10x+y
Abbiamo scritto y come unità e x è di peso 10 come decina.

Se la regola è vera devo scrivere che N' = x+2y e deve essere multiplo di 19.

A questo punto se facciamo
10N' - N = 10(x+2y) - (10x + y) = 19y

Quindi se N' è multiplo di 19 allora:
N = 10N' - 19y
N si divide esattamente per 19.

Esempio
38 -> 3+2x8=19 divisibile per 19

Alla prox

Le congetture e gli attacchi diretti e indiretti

Nella Teoria dei Numeri esistono varie congetture non ancora dimostrate, apparentemente semplici, ma di una complessità notevole se li si vuole realmente dimostrare con la matematica analitica.

Un esempio notevole è il Postulato di Bertrand, unico dimostrato (da Chebyscev), che afferma nella sua versione semplice che tra n e 2n con n>1 esiste almeno un numero primo. Una volta dimostrato nell'Ottocento, successivamente si sono avute dimostrazioni più semplici di Ramanujan e di Paul Erdos.

Per comprendere come si fa una dimostrazione di una congettura come questa basta che date un'occhiata ad esempio a:  http://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_del_postulato_di_Bertrand

Ebbene congetture più restrittive e legate tra loro sono la congettura di Oppermann che afferma che tra n^2-n e n^2+n esistono almeno due numeri primi. C'è un effetto domino tra alcune congetture legate; ad esempio se si dimostrasse la congettura di Cramer, anche la congettura di Oppermann sarebbe risolta, il che implicherebbe anche la soluzione della congettura di Legendre.

Un legame esiste anche tra la congettura di Andrica e quella di Cramer. Lo stesso postulato di Bertand è un caso particolare della congettura di Legendre.  

Il postulato di Bertrand si potrebbe esprimere in una forma generalizzata come segue:

Per ogni n>1 esiste sempre un numero primo tale che kn < p < (k+1)n

Se k=1 abbiamo il postulato di Bertrand, se k=n abbiamo la congettura di Legendre.

Per k=2 il postulato di Bertrand generalizzato è stato dimostrato da Bachraoui con la stessa tecnica di Erdos, con i coefficienti binomiali. Rimane da dimostrarlo per k>2.E questa è una strada da non trascurare per la dimostrazione finale.



La congettura di Legendre è la più affascinante ed afferma che tra (n+1)^2 e n^2 esiste almeno un numero
primo.

Il problema non è "se sono vere o meno" queste congetture. Non serve che qualcuno esca fuori e lo dichiari.
Gli innumerevoli esempi e la ricerca di contro-esempi danno l'evidenza della verità su esse, come sulla
congettura di Riemann.

Il problema è proprio di trovare il giusto procedimento matematico analitico per dimostrarle vere. E' sempre accaduto che quando una congettura è stata risolta è emersa una nuova tecnica a vantaggio del progresso matematico.

Diversi lettori mi hanno fatto domande sul cosa si intende dimostrare una congettura.

Sicuramente dimostrare una congettura non è fare esempi, tabelle di numeri e calcoli con stime approssimate del Teorema dei Numeri Primi, queste sono tecniche di ricerca al massimo di contro-esempi o per stabilire una stima. Occorre, invece, partire dalla ipotesi della congettura e trovare un metodo con vari passaggi generalizzati, algebrici, geometrici,analitici o trigonometrici, in dipendenza del tipo di problema e proposizione che si sta affrontando, fino ad arrivare ad un risultato che confermi la tesi o la contraddice. Altrimenti non si è dimostrato niente, ma si è dato solo delle evidenze.

Un modo economico diverso, è quello di progettare attacchi diretti e indiretti alle congetture per cercare, graficamente o numericamente, con del software sviluppato ad hoc da noi stessi, dei contro-esempi. Se si trova un solo contro-esempio sono false, in caso contrario rimane aperta ancora la ricerca della loro dimostrazione di verità.

Gli attacchi diretti sono attacchi alla congettura nella sua forma principale. Un esempio di attacco diretto
è l'articolo "Aggirandosi tra i plot della zeta di Riemann", dove sia numericamente che graficamente con del software si verifica la posizione degli zeri della zeta di Riemann.

Un attacco indiretto è invece un attacco grafico e numerico, ad una congettura equivalente. Ad esempio per
l'ipotesi di Riemann ci sono innumerevoli congetture RH equivalenti: criterio di Robin, criterio di Lagarias,
funzione di Liouville, Frobenius etc. Nel caso di Riemann ce ne sono almeno una ventina e spesso ne nascono di nuove.


Un esempio, invece, di proposta di dimostrazione è sempre quello dell'autore sulla zeta di Riemann.

Per chi è interessato a tali tecniche, in tal caso occorre stilare la lista di tutte le congetture equivalenti, magari su Wikipedia, poi comprendere bene cosa dichiarano rigorosamente e cercare di attaccarle una dopo l'altra, per la ricerca di contro-esempi.

Questa tecnica è più pratica e richiede meno conoscenze dimostrative matematiche: basta un solo contro-esempio per dimostrarle false. Spesso la scoperta del contro-esempio porta alla correzione della congettura o al suo definitivo abbandono.

Con le tecniche di attacco  furono dimostrate false varie congetture (Mertens, etc). Grossi nomi di utilizzatori di tecniche del genere sono Alan Turing, Odlyzko etc.


Se l'attacco non dimostra la falsità con un contro-esempio, l'attacco è fallito e la congettura è ancora da
dimostrare.

Affinando queste tecniche di attacco si finisce, inevitabilmente, con lo scoprire un "comportamento nascosto" che non si conosceva. Ad esempio con la zeta di Riemann se non si fosse affrontata una cosa del genere non si conoscerebbero ora i punti di Gram ed altro etc.

Spesso la dimostrazione, invece, è corretta ma non è stata fatta con i metodi analitici come si richiede per ottenere progressi sull'argomento (ad esempio nel campo delle funzioni complesse di variabili complesse o delle funzioni ellittiche), per cui alla fine è una soluzione minore o elementare, cioè è considerata solo una evidenza; perchè potrebbero esistere implicazioni che il metodo elementare non mette in risalto.

Un articolo delle attuali conoscenze sulla congettura di Legendre è a:
www.scribd.com/rosario_turco (Collections contiene tutti gli articoli dell'autore).


Alla prox

Shrimp Factored Problem

Spesso per studiare un problema si cerca di semplificarlo con un altro, a volte l'espediente riesce ma in altri casi nasce un altro problema.

Un problema "carino" da me inventato mentre studiavo il problema di Collatz e gli automi cellulari è quello che
chiamo lo "Shrimp Factored Problem" ovvero il "problema del Gambero fattorizzato".

Il suo enunciato è il seguente:
Sia dato un intero N qualsiasi e si procede nel seguente modo:
1) Se N è primo si moltiplica randomicamente per un numero presente nell'intervallo [2,N-1] e si passa allo step successivo 2). Se N non è primo si prosegue lo stesso allo step 2).
2) Si fattorizza il numero N ottenuto dallo step 1) e si preleva il minor fattore. Se il fattore è 2 si arresta il procedimento, altrimenti si passa allo step 1) con l'N ottenuto

I quesiti che si pongono sono almeno due:
a) L'automa si arresta sempre? Ovvero la sequenza di numeri che si ottiene arriva sempre a 2? La sequenza è sempre convergente o può avere cicli?

b) Come si calcola il numero di step che verranno fatti?

Eccovi un algoritmo in PARI/GP utile all'analisi:

Shrimp(N)= local(s="", Np=0); {
 if( N == 2, error("You must insert N > 2"));
 s=concat(s,N);
 s=concat(s,",");
 i=1;
 while( N != 2,
        i++;
        A=factor(N);
        if(length(A)>=2 & A[1,1] != 2,
           c=random(N-1);
           if( c < 2, c=2;);
           print(c);
           N=A[1,1]*c;
           if( N > Np,
             Np = N;
             pos = i;
           );          
           s=concat(s,N);
           s=concat(s,",");
        );
        if( A[1,1] == 2,
            N = A[1,1];
            s=concat(s,N);
        );
 );
 r = pos/i * 1.0;
 print("Max = ", Np);
 print("r   = ", r*100);
 print(s);
 return;
}
Alcuni risultati:

? Shrimp(23)
23,207,492,2

? Shrimp(27)
27,63,168,2

? Shrimp(31)
31,837,192,2

? Shrimp(313)
313,35369,2581824,2

? Shrimp(723421)
723421,248066124847,1068167619936,2

? Shrimp(723421345678)
723421345678,2

Apparentemente si ferma subito.
Eccovi un altro esempio col 31, lanciato almeno due-tre volte (cambia il c randomico che faccio stampare prima di mostrare la sequenza numerica):
? Shrimp(31)
19
273
2357
451
1051
1225
1963
4365
11029
1657
211
396
31,589,5187,7071,1353,3153,3675,5889,13095,33087,4971,633,1188,2
? Shrimp(31)
11
128
31,341,1408,2
? Shrimp(31)
27
206
31,837,618,2

Anche qui apparentemente sembra esistere una "congettura del Massimo dello Shrimp Factored": il massimo si presenta sempre con una posizione non inferiore al 66,67%. Invece il contro-esempio:

 ? Shrimp(511)
493
105
396
Max = 3451
r   = 40.00000000000000000000000000
511,3451,735,1188,2

Si può avere meno del 40%?

Se avete una dimostrazione ai vari quesiti, fatemi sapere.

Alla prox