Quadrati di numeri pari

Lemma
I numeri potenza di 2 sono sempre difettivi.

Lemma
Il quadrato di un numero pari n, diverso da una potenza di 2, è sempre un numero abbondante.

Dim.
Un numero pari è ottenibile con 2m; nel nostro caso dobbiamo però ipotizzare che 2m non sia potenza di 2 ovvero 2m<>2^x; inoltre per la definizione del Lemma di quadrato di n allora è:

n = (2m)^2 = 4m^2

i suoi divisori, escluso n (4m^2) sono, quindi, almeno:

[1,2,4,m,2m,4m,m^2,2m^2]

la cui somma S=3m^2+7(m+1) > 4m^2
difatti  7(m+1)>m^2

Facciamo anche qualche esempio:

6^2   =  4m^2 = (2*3)^2 = 4*3^2 ovvero m=3  per cui 7*4=28>3^2=9        
10^2 =  4m^2 = (2*5)^2 = 4*5^2 ovvero m=5  per cui 7*6=42>5^2=25

Su questa stessa strada si potrebbe dimostrare anche che la potenza m-esima di un pari non potenza di 2 è sempre un numero abbondante.

In verità se il numero è già abbondante anche il multiplo o una potenza di un numero abbondante è a sua volta abbondante.