giovedì 14 giugno 2012

Tabella dei divisori

In questo nuovo blog, con un pò di pazienza e magari anche con qualche errore che vi chiedo di segnalarmi, proverò a fare una tabella di classificazione dei numeri naturali in base al numero dei loro divisori propri.

La tabella serva ad osservare le caratteristiche dei numeri e la loro frequenza.

Uno dei risultati immediati di questa tabella è l'"Ipotesi della Regola dei 17 divisori propri (R. Turco)": "Il numero totale di numeri, a partire da 1, con 17 divisori propri è circa 17 x il numero di intervalli da 1000 considerati, con un errore che tende ad aumentare all'aumentare dell'intervallo".

Ad esempio tra 1 e 3000 con la regola si ottiene:  17 x 3 = circa 51 e difatti ce ne sono 52.

All'aumentare dell'intervallo l'errore aumenta come sovrastima, almeno nell'intervallo 1 - 20 mila (non ho indagato oltre). A 20 mila la sovrastima è di 40 esatti. Il che vuol dire che la relazione non è esattamente lineare.Interessante sarebbe trovare la relazione giusta e dimostrare perchè accade ciò e, quindi, trasformare la stima in Teorema.

TABELLA

 Intervallo considerato 1-1000 (nel caso di assenza valori l'intervallo è tra 1 e vari milioni segnati nella nota)

Num div Quantità    Tipologia divisori Tipo numero
1   168 numeri primi difettivi
2 11 quadrati di numeri primi          difettivi
3 292 numeri RSA e potenze del 2   difettivi o lievemente difettivi
4 3 potenze di numeri primi          difettivi
5 110           prodotti di numeri primi          difettivi
6 2 potenze seste numeri primi      difettivi
7 180 numeri primi e composti difettivi
8 8 varie tipologie (1) abbondanti o difettivi
9 22 varie tipologie abbondanti o difettivi
10 0 potenze decime primi              lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
11 97 varie tipologie abbondanti o difettivi
12 0 potenze dodicesime primi        lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
13 5 abbondanti
14 4 abbondanti
15 48 abbondanti
16 0 potenze sedicesime primi         lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
17 17 abbondanti
18 0 potenze diciottesime primi        lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
19 11 abbondanti o difettivi
20 0 (2) abbondanti o difettivi
21           0 (3) abbondanti
22           0             (4)                                           lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
23           16                                                           abbondanti
24           0             (5)                                           abbondanti
28           0             (6)                                           liev. difett. (potenza di 2), difettivo o abbondante
29           1                                                             abbondanti
30           0             (7)                                           liev. difett. (potenza di 2), difettivo o abbondante
31           1                                                            abbondanti
32           1             (8)                                           abbondanti
33           1             (9)                                           abbondanti


(1) varie tipologie: potenze del 2, con divisori numeri perfetti, composti, etc
potenze decime: tra 1 e 1 milione esistono solo 2 numeri del genere: 1024 e 59049
potenze dodicesime: tra 1 e 1 milione esiste solo 531441
potenze diciottesime:  tra 1 e 1 milione c'è solo 262144
(2)   tra 1 e 1 milione ce ne sono 44
(3)   tra 1 e 1 milione ce ne sono 168
(4)    tra 1 e 10 milioni c'è solo uno: 4194304
(5)    tra 1 e 10 mila ce ne sono due: 1296 e 10000
(6)    tra 1 e 40 milioni non ci sono i numeri a 28 divisori
(7)    tra 1 e 40 milioni non ci sono numeri a 30 divisori
(8)    tra 1 e 10 mila
(9)   tra 1  e 200 mila

La nota (6) fa nascere una nuova ipotesi:"Esistono numeri naturali con 28 divisori o 30 divisori?". Se non esistono, perchè è così? In realtà faremo vedere un metodo di ragionamento per stabilire che esistono e di che genere sono.

Il programma PARI/GP usato è il semplice listato che segue:

SND(start=1,end=1000,adiv=5)= local(i=0, j=0,d=0); {
count=0;
for(i=start,end,
    d = divisors(i);
    if(adiv==length(d)-1,
       print(i," è un numero con ", length(d)-1," divisori");
  count++;
    );
    d=0;
);
print(" Fine ricerca tra n=", start, " e n=", end);
print(" Trovati n=", count, " numeri");
return;
}


Successivamente proverò ad allargare la tabella con altri numeri di divisori interessanti.

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