Google+ Followers

Translate

Post in evidenza

GNFS, teoria - parte 2

Ancora un po' di teoria e chiarimenti, in questa parte 2, per affinare ancora qualcosa prima degli esempi. Mi odierete lo so, ma un...

giovedì 14 giugno 2012

Tabella dei divisori

In questo nuovo blog, con un pò di pazienza e magari anche con qualche errore che vi chiedo di segnalarmi, proverò a fare una tabella di classificazione dei numeri naturali in base al numero dei loro divisori propri.

La tabella serva ad osservare le caratteristiche dei numeri e la loro frequenza.

Uno dei risultati immediati di questa tabella è l'"Ipotesi della Regola dei 17 divisori propri (R. Turco)": "Il numero totale di numeri, a partire da 1, con 17 divisori propri è circa 17 x il numero di intervalli da 1000 considerati, con un errore che tende ad aumentare all'aumentare dell'intervallo".

Ad esempio tra 1 e 3000 con la regola si ottiene:  17 x 3 = circa 51 e difatti ce ne sono 52.

All'aumentare dell'intervallo l'errore aumenta come sovrastima, almeno nell'intervallo 1 - 20 mila (non ho indagato oltre). A 20 mila la sovrastima è di 40 esatti. Il che vuol dire che la relazione non è esattamente lineare.Interessante sarebbe trovare la relazione giusta e dimostrare perchè accade ciò e, quindi, trasformare la stima in Teorema.

TABELLA

 Intervallo considerato 1-1000 (nel caso di assenza valori l'intervallo è tra 1 e vari milioni segnati nella nota)

Num div Quantità    Tipologia divisori Tipo numero
1   168 numeri primi difettivi
2 11 quadrati di numeri primi          difettivi
3 292 numeri RSA e potenze del 2   difettivi o lievemente difettivi
4 3 potenze di numeri primi          difettivi
5 110           prodotti di numeri primi          difettivi
6 2 potenze seste numeri primi      difettivi
7 180 numeri primi e composti difettivi
8 8 varie tipologie (1) abbondanti o difettivi
9 22 varie tipologie abbondanti o difettivi
10 0 potenze decime primi              lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
11 97 varie tipologie abbondanti o difettivi
12 0 potenze dodicesime primi        lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
13 5 abbondanti
14 4 abbondanti
15 48 abbondanti
16 0 potenze sedicesime primi         lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
17 17 abbondanti
18 0 potenze diciottesime primi        lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
19 11 abbondanti o difettivi
20 0 (2) abbondanti o difettivi
21           0 (3) abbondanti
22           0             (4)                                           lievemente difettivi (se base 2) o difettivi
23           16                                                           abbondanti
24           0             (5)                                           abbondanti
28           0             (6)                                           liev. difett. (potenza di 2), difettivo o abbondante
29           1                                                             abbondanti
30           0             (7)                                           liev. difett. (potenza di 2), difettivo o abbondante
31           1                                                            abbondanti
32           1             (8)                                           abbondanti
33           1             (9)                                           abbondanti


(1) varie tipologie: potenze del 2, con divisori numeri perfetti, composti, etc
potenze decime: tra 1 e 1 milione esistono solo 2 numeri del genere: 1024 e 59049
potenze dodicesime: tra 1 e 1 milione esiste solo 531441
potenze diciottesime:  tra 1 e 1 milione c'è solo 262144
(2)   tra 1 e 1 milione ce ne sono 44
(3)   tra 1 e 1 milione ce ne sono 168
(4)    tra 1 e 10 milioni c'è solo uno: 4194304
(5)    tra 1 e 10 mila ce ne sono due: 1296 e 10000
(6)    tra 1 e 40 milioni non ci sono i numeri a 28 divisori
(7)    tra 1 e 40 milioni non ci sono numeri a 30 divisori
(8)    tra 1 e 10 mila
(9)   tra 1  e 200 mila

La nota (6) fa nascere una nuova ipotesi:"Esistono numeri naturali con 28 divisori o 30 divisori?". Se non esistono, perchè è così? In realtà faremo vedere un metodo di ragionamento per stabilire che esistono e di che genere sono.

Il programma PARI/GP usato è il semplice listato che segue:

SND(start=1,end=1000,adiv=5)= local(i=0, j=0,d=0); {
count=0;
for(i=start,end,
    d = divisors(i);
    if(adiv==length(d)-1,
       print(i," è un numero con ", length(d)-1," divisori");
  count++;
    );
    d=0;
);
print(" Fine ricerca tra n=", start, " e n=", end);
print(" Trovati n=", count, " numeri");
return;
}


Successivamente proverò ad allargare la tabella con altri numeri di divisori interessanti.

Nessun commento:

Posta un commento